1 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.

2 . 已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 已知函数．

(1)当时，判断的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．

4 . 已知函数．

(1)当时，求的极值点个数；
(2)若，求a的取值范围．

5 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围；
(3)当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．

7 . 已知函数．
(1)若函数在上为增函数，求实数的最大值；
(2)若有两个极值点，且不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）．

8 . 已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

9 . 设函数，.若在恒成立，则实数的取值范围是_________.