1 . 已知函数．
(1)讨论在区间上单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．

2 . 设函数
(1)若函数与的图象存在公切线，求的取值范围；
(2)若方程有两个不同的实根，求证：．

3 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，
（i）求实数的取值范围;
（ii）求证:．

4 . 已知函数
(1)求函数的极值；
(2)当时，求证：函数有两个零点．

5 . 已知函数．
(1)若，求函数的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，令，且在上不单调，求实数的取值范围．

6 . 已知函数为自然对数的底数.
(1)设，求在区间内的实根个数；
(2)若对任意都成立，求的取值范围；
(3)设，比较与的大小.

7 . 已知与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”．
(1)判断是否为函数的一个函数，并说明理由；
(2)设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)函数的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由．

8 . 已知函数，，．
(1)求函数的导数；
(2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；
(3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值．

9 . 已知函数．
(1)当时，过点的直线与图象相切，求直线的方程；
(2)若有两个零点，求的取值范围．

10 . 已知函数.
(1)时，证明：时，；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求a的取值范围.