1 . 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.

(1)求线段的长度；
(2)求的大小；
(3)问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值：，

2 . 已知平面四边形的对角线分别为，，其中．
(1)探究：是否为直角三角形；若是．请说明哪个角为直角，若不是，请给出相关理由；
(2)记平面四边形的面积为S，若，且恒有，求实数λ的取值范围．

3 . 的内角的对边分别为为平分线，.
(1)求；
(2)上有点，求.

4 . 如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且．
   
(1)若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；
(2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=，，试确定，当θ为多大时△OMN的面积最小，并求出最小面积值．

5 . 测量河对岸某一高层建筑物的高度时，可以选择与建筑物的最低点在同一水平面内的两个观测点和，如图，测得，，，并在处测得建筑物顶端的仰角为，求建筑物的高度.

   

6 . 如图，在平面四边形中，，，.

(1)求的大小；
(2)求边的长度.

7 . 在中，为的角平分线上一点，且与分别位于边的两侧，若

(1)求的面积;
(2)若，求的长.

8 . 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击

(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船

9 . 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.

(1)求出山高BE（结果保留整数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？
参考数据:.

10 . 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km.

(1)求的长度；
(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？