1 . 如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是________．

   

2 . 已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上，点在轴上，，则的值为__________________.

3 . 点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______.

5 . 已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为 _________

6 . 在中，已知为边上一动点，过点作一条直线交边于点．

（1）若为中点，且，则______．
（2）设，则的最大值是______．

7 . 已知平面向量满足，则的最大值为__________.

8 . 已知圆，圆，过上一点作的切线与交于不同两点，，点的坐标为，则的取值范围为_________.

9 . 已知，若存在m，，使得与夹角为，且，则的最小值为______．

10 . 已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为__________.