名校
解题方法
1 . 如图，单位向量
，
的夹角为
，点
在以
为圆心，1为半径的弧
上运动，则
的最小值为______ ．
，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为
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2023-02-25更新
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2389次组卷
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8卷引用：浙江省杭州市富阳区实验中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
名校
解题方法
2 . 已知a，b，c为
的内角A，B，C所对的边，向量
，
，且
.
(1)求；
(2)若
，的面积为
，且
，求线段
的长.
的内角A，B，C所对的边，向量，，且.(1)求
；(2)若
，的面积为，且，求线段的长.
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2023-01-31更新
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1040次组卷
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8卷引用：四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学（文）试题
四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学（文）试题四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学（理）试题（已下线）江苏省南通市如皋市2023-2024学年高三上学期8月诊断测试数学试题安徽省部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题（已下线）第二章 平面向量及其应用（综合检测卷）（已下线）11.2 正弦定理（1）福建省仙游县第二中学2022-2023学年高一下学期期中质量检测数学试题（已下线）考点5 平面向量的应用 --2024届高考数学考点总动员【练】
名校
解题方法
3 . 设，
是边上一定点，满足
，且对于边上任一点P，恒有
.则（ ）
，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-06-01更新
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2726次组卷
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32卷引用：上海市新川中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题
上海市新川中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题上海市位育中学2018-2019学年高二上学期10月月考数学试题上海市交大附中2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试题2上海市嘉定区第一中学2020-2021学年高二上学期第一阶段考试数学试题安徽省淮南第二中学2021-2022学年高二下学期博雅杯素养挑战赛数学试题上海市青浦高级中学2018-2019学年高三上学期9月质量检测数学试题广东省佛山市第一中学2018-2019学年高一下学期第二次段考数学试题上海市南洋中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题江苏省无锡市江阴市第一中学2021-2022学年高一下学期3月阶段性考试数学试题【全国市级联考】浙江省杭州地区2017学年高一 第二学期期中六校联考数学试题【全国市级联考】浙江省温州市2017—2018学年高一下学期期末复习数学试题人教A版 必杀技 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第二部分 走近高考 第八章 向量高考题选（已下线）专题16 平面向量数量积及其应用-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）思想01 函数与方程思想 第三篇 思想方法篇（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）（已下线）第13讲 向量的应用（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）（已下线）第13讲向量的应用（练习）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）（已下线）极化恒等式试题上海市南汇中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题（已下线）第19讲压轴综合题（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）（已下线）专题04 平面向量-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（浙江专用）（已下线）极化恒等式从入门到精通（已下线）第8章 平面向量【过关测试】-2020-2021学年新教材高一数学下册单元复习一遍过（沪教版2020必修第二册）（已下线）专题13 平面向量(练习)-2（已下线）专题13 盘点求数量积的四种方法-1福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学模拟试题（已下线）平面向量专题：极化恒等式解决向量数量积问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)（已下线）专题9-3：极化恒等式在向量数量积中的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)内蒙古自治区呼和浩特市第二中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）第八章 平面向量（6大易错与4大拓展）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）（已下线）专题突破：极化恒等式与向量数量积-同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）
4 . 已知
，
，且
与
的夹角为钝角，则
的取值范围是_________ .
，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是
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2023-04-17更新
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771次组卷
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43卷引用：西藏自治区拉萨市西藏自治区拉萨中学2019-2020学年高二上学期第四次月考数学（理）试题
西藏自治区拉萨市西藏自治区拉萨中学2019-2020学年高二上学期第四次月考数学（理）试题福建省建瓯市第二中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题四川省阆中中学2019-2020学年高二4月月考数学（理）试题山东省菏泽市单县第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题安徽省蚌埠第三中学2020-2021学年高二上学期1月教学质量检测数学(理)试题江西省兴国县第三中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题福建省建瓯市芝华中学2021-2022学年高二上学期第一次阶段性检测数学试题江西省宜春中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试题河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题安徽省阜阳市阜南实验中学2022-2023学年高二上学期第二次质量检测数学试题广东省兴宁市沐彬中学2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题吉林省吉林市第四中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学2023-2024学年高二上学期第一阶段考数学试题福建省泉州中远学校2023-2024学年高二上学期第一阶段教学质量检测试题山东省青岛市青岛第九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高二上学期第二次统练数学试题山东省威海市乳山市银滩高级中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题安徽省阜阳市颍上县人和私立高中2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题广东省江门市台山市某校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题江苏省扬州市邗江区2018-2019学年高二下学期期中数学(理)试题人教A版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 本章复习提升（已下线）专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）章末检测01 空间向量与立体几何-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学课时同步练（人教A版选择性必修第一册）（已下线）专题1.2 空间向量及其运算的坐标表示（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第一册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）广西北流市实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题（已下线）1.3空间向量及其运算的坐标表示（同步练习）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册） （已下线）1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精练）-2021-2022学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（本章复习提升）-2021-2022学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（教师版）-【帮课堂】福建省宁化第一中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题广东省广州市海珠中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）期中模拟题（一）-2021-2022学年高二数学同步单元AB卷 （人教A版2019选择性必修第一册+第二册，浙江专用）人教A版(2019) 选修第一册 实战演练 第一章 课时练习 05 空间向量运算的坐标表示湖南省岳阳市临湘市2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（已下线）期末综合检测卷二 -2021-2022学年高二数学同步单元AB卷（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.3空间向量及其运算的坐标表示B卷（已下线）突破1.3 空间向量及其坐标表示（课时训练）3.3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示——2022-2023学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册（已下线）专题1.8 空间向量与立体几何全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第12讲 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷（基础卷）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（2）沪教版(2020) 一轮复习 堂堂清 第八单元 8.9 空间向量在立体几何中的应用(一)
名校
解题方法
5 . 已知非零向量
与
满足
且
，则为（ ）
与满足且，则为（ ）| A．三边均不相等的三角形 | B．直角三角形 |
| C．等腰非等边三角形 | D．等边三角形 |
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2021-09-29更新
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2211次组卷
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64卷引用：甘肃省甘谷县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考文科数学试题
甘肃省甘谷县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考文科数学试题（已下线）2011届广东省高州市南塘中学高三上学期16周抽考数学理卷2015-2016学年辽宁大连师大附中高一下6月月考数学试卷内蒙古巴彦淖尔市第一中学2016-2017学年高一3月月考数学试题【全国百强校】四川省雅安中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题重庆市第十八中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期第二次阶段检测数学（理）试题山西省运城市永济涑北中学2019-2020学年高一下学期3月月考数学试题河北省衡水市第十四中学2020-2021学年高一下学期一调（月考）数学试题重庆市西南大学附属中学校2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题炎德英才联考合作体2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高三上学期10月月考数学试题湖南省名校联合体2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题江西省景德镇市第一中学2021-2022学年高二（2班）上学期期中数学试题新疆莎车县第一中学2022届高三上学期第三次质量检测数学试题天津市第四十一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（已下线）2010年甘肃省天水一中高三第二次模拟考试数学（理）试题（已下线）2011届安徽省野寨中学、岳西中学高三上学期联考理科数学卷（已下线）2011届山东省淄博市一中高三第一学期期末数学理卷（已下线）2012届陕西省师大附中高三第一学期期中考试文科数学2015届山西省大同、同煤一中高三上学期期末考试理科数学试卷2016届陕西西藏民族学院附中高三下三模理科数学试卷山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文）试题山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（理）试题甘肃省张掖二中2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习 平面向量、复数 形成性测试卷（文科）数学试卷（已下线）二轮复习 【理】专题8 平面向量 押题专练（已下线）二轮复习【文】专题8 平面向量 押题专练湖北省黄冈市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题（已下线）2019年一轮复习讲练测 5.4 应用向量方法解决简单的平面几何问题【浙江版】 【练】北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题（已下线）2009年全国高中数学联赛湖南省预赛试题【校级联考】湖北省武汉市华科附中、育才高中、19中、吴家山中学2018-2019学年高一下期中联考数学试题【全国百强校】福建省厦门双十中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题人教A版 必杀技 第二章 平面向量 专题2 平面向量的综合应用人教A版 全能练习 必修4 第二章 本章能力测评（二）人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第六章 6.4 平面向量的应用 小结2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末考试数学（文）试题人教A版(2019) 必修第二册 必杀技 第6章 专题1 平面向量的综合应用专题04 平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用（核心素养练习）-【新教材精创】2019-2020高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)-《高中新教材知识讲学》专题04 平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用（知识精讲）-【新教材精创】2019-2020高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)-《高中新教材知识讲学》江西省赣州市崇义县崇义中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学（文）试题湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟2019-2020学年高三上学期期末文科数学试题（已下线）8.3向量的数量积与三角恒等变换本章总结练习(1）（已下线）第五单元 平面向量( A卷 基础过关检测）-2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷（已下线）专题16平面向量共线定理的求解策略解题模板山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年第二学期高一数学期中模拟检测（三）（已下线）6.4.1 6.4.2 向量在物理中的应用举例（练习）-2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册）沪教版(2020) 必修第二册 高效课堂 第八章 平面向量 单元测试卷安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题山西省怀仁市2020-2021学年高一下学期期中数学试题（已下线）专题8.3—平面向量—利用数量积判断三角形的形状—2022届高三数学一轮复习精讲精炼新疆喀什市部分学校2022届高三全真模拟数学试题新疆喀什地区莎车县第一中学2022届高三上学期期中数学试题（已下线）6.4 平面向量的应用（已下线）6.4平面向量的应用B卷（已下线）第09讲 平面向量的应用-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题06 平面向量的模与夹角（练）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）考点22 平面向量在平面几何、物理中的应用-备战2022年高考数学典型试题解读与变式（已下线）考点19 解三角形相关的综合问题-备战2022年高考数学典型试题解读与变式（已下线）收官卷02 --备战2022年高考数学（理）一轮复习收官卷（全国甲卷） （已下线）收官卷01--备战2022年高考数学（理）一轮复习收官卷（全国甲卷）（已下线）专题2 平面向量的数量积及其应用-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】（已下线）重难点09 平面向量常考经典压轴小题全归类【九大题型】
名校
6 . 中，
，
，
，点为的外心，若
，则实数
的值为（ ）
中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-06-08更新
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2630次组卷
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11卷引用：江苏省盐城市响水中学2023-2024学年高二上学期暑期检测数学试题
江苏省盐城市响水中学2023-2024学年高二上学期暑期检测数学试题河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三上学期第三次月考数学理试题福建省宁德市寿宁县第一中学2023-2024学年高二上学期期初测试数学试题广西南宁市武鸣区锣圩高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷安徽省安庆市第一中学2021届高三下学期三模理科数学试题湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题07 平面向量-2021年高考真题和模拟题数学（理）专项汇编（全国通用）（已下线）专题20 利用正（余）弦定理破解解三角形问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破（已下线）专题53 盘点平面向量问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破福建省福州文博中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
名校
7 . 若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：
.则△ABM与△ABC的面积之比为________ .
.则△ABM与△ABC的面积之比为
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2021-03-12更新
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1999次组卷
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4卷引用：湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题新疆克拉玛依市第一中学2020-2021学年高二6月月考数学试题河南省焦作市第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（已下线）6.3.1 平面向量基本定理（分层练习）-2020-2021学年高一数学新教材配套练习（人教A版2019必修第二册）
名校
解题方法
8 . 边长为4的正三角形
，
为边
的中点，若
在边上运动（点可与
重合），则
的最小值为___________ .
，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为
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名校
解题方法
9 . 在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则
的最小值是( )
中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是( )A． | B． | C． | D． |
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2022-03-17更新
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1073次组卷
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4卷引用：广东省惠州市六校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题
广东省惠州市六校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题甘肃省定西市临洮县临洮中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题湖南省省级示范名校联盟2022届高三下学期3月第一次学科综合评估检测数学试题（已下线）5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）-【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）
10 . 定义空间两个非零向量的一种运算：
，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）A． | B． |
C．若 ，则 | D． |
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2023-08-26更新
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466次组卷
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8卷引用：广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）2022-2023学年上学期高二9月月考数学试题
广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）2022-2023学年上学期高二9月月考数学试题海南省琼海市海桂中学2023-2024学年高二上学期第一次学情监测数学试题辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（普高班）海南省洋浦中学2022-2023学年高二上学期期中检测数学试题（已下线）第07讲 空间向量的数量积运算9种常见考法归类（1）湖北省2022届高三下学期4月调研(二模)数学试题（已下线）专题32 空间向量及其应用-2（已下线）模块二 专题5《平面向量与复数》单元检测篇 A基础卷 （人教A）
