1 . 已知点O为所在平面内一点,且满足.求证:点O是三条高线的交点.
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2 . 设、是两个不共线的向量,如果,,.
(1)求证:、、三点共线;
(2)试确定的值,使和共线;
(3)若、为单位向量,且、夹角的正弦值为,求的模.
(1)求证:、、三点共线;
(2)试确定的值,使和共线;
(3)若、为单位向量,且、夹角的正弦值为,求的模.
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3 . 如图,在△ABC内任取一点P,直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F.
(1)试证明:
(2)若P为重心,,求的面积.
(1)试证明:
(2)若P为重心,,求的面积.
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4 . 平面向量是数学中一个非常重要的概念,它具有广泛的工具性,平面向量的引入与运用,大大拓展了数学分析和几何学的领域,使得许多问题的求解和理解更加简单和直观,在实际应用中,平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用,平面向量可以方便地描述几何问题,进行代数运算,描述几何变换,表述物体的运动和速度等,因此熟练掌握平面向量的性质与运用,对于提高数学和物理学的理解和能力,具有非常重要的意义,平面向量的大小可以由模来刻画,其方向可以由以轴的非负半轴为始边,所在射线为终边的角来刻画.设,则.另外,将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成(其中,那么.根据以上材料,回答下面问题:(1)若,求向量的坐标;
(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图,点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点,连接DE,求DE的中点坐标.
(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图,点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点,连接DE,求DE的中点坐标.
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5 . 如图所示,已知是菱形,与是两条对角线.
求证:.
求证:.
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6 . 已知向量,且与的夹角为.
(1)求证:(;
(2)若与的夹角为,求的值.
(1)求证:(;
(2)若与的夹角为,求的值.
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7 . 已知向量,,.
(1)求证:;
(2),求的值.
(1)求证:;
(2),求的值.
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8 . 在中,已知.
(1)求证:;
(2)若D为AB的中点,且,,求的面积.
(1)求证:;
(2)若D为AB的中点,且,,求的面积.
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9 . 已知向量满足.
(1)证明.
(2)求向量与夹角的余弦值.
(1)证明.
(2)求向量与夹角的余弦值.
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10 . 如图,在△ABC中,三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,点E是边AB的中点,点D是边AC上一点,BD,CE相交于点P,且.
(1)若,求实数的值;
(2)若,证明:.
(1)若,求实数的值;
(2)若,证明:.
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