1 . 已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．

2 . 已知椭圆过点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点．

3 . 在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且满足
(1)求的值；
(2)若为线段上的任意一点，若，
①用向量表示向量；
②求证：为定值；
(3)若为线段上任意一点，求的最小值.

4 . 已知Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m，BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD=AB；
(2)在（1）的条件下，若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点，求AF的长（用m，n表示）.

5 . 设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．

6 . 已知椭圆C：（）的短轴长为2，，分别为椭圆C的左、右焦点，B为椭圆的上顶点，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且，证明：直线l恒过定点.

7 . 设平面向量，满足，设函数．
(1)若函数的最大值为1，求实数a的值；
(2)在（1）的条件下，若使得，求证：．

8 . 已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x²＋y²＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A₁，A₂两点，求；
(3)求证：|AN|·|BM|为定值.

9 . 已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.