2 . 设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）.
(1)求的通项公式，并证明：是等差数列；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．
(1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
(2)数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6；
(3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．

4 . 已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
(1)若，求的值；
(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.

5 . 若存在常数，使得对于任意，都有，则称数列为数列.
（1）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若为数列，求的取值范围；
（2）已知数列的各项均为正数，记的前项和为，数列的前项和为，且，，若数列满足，且为数列，求的最大值；
（3）已知正项数列满足：，且数列为数列，数列为数列，若，求证：数列中必存在无穷多项可以组成等比数列.

6 . 已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

7 . 已知数列的前项和为，且，.
（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；
（2）若数列满足，且，求证：数列是等差数列；
（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数的集合.

8 . 设正项数列的前n项和为，已知
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式
(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围．

9 . 设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，n∈N^*.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：.