1 . 数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
(1)若，求可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.

2 . 设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）.
(1)求的通项公式，并证明：是等差数列；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知是等差数列，其公差大于1，其前项和为是等比数列，公比为，已知.
(1)求和的通项公式；
(2)若正整数满足，求证：不能成等差数列；
(3)记，求的前项和.

4 . 已知无穷数列A：，满足：①，且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，….
(1)若数列A为等差数列且，求其公差d；
(2)若，求的值；
(3)若，，求数列的前100项和.

5 . 已知为等差数列，，记分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若对任意都有成立，求m的最小值．

6 . 已知数列满足，且对任意正整数m，n都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值;
(3)设，是数列的前n项和，求证:.

7 . 已知数列满足，且对任意正整数n都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和．

8 . 已知数列满足，（）．
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)求的通项公式．

9 . 已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求和；
(3)求证：．

10 . 已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”.
(1)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求；
(2)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值.