1 . 若.
(1)求证:；
(2)令,写出的值,观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明:存在不等于零的常数，使是等比数列,并求出公比的值.

2 . 已知正项数列满足，．

(1)若，请判断并证明数列的单调性；
(2)若，求数列的前项和．

3 . 已知数列，若，且．
(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

4 . 已知数列满足：，.
(1)计算数列的前4项；
(2)求证：是等差数列；
(3)求的通项公式.

5 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：.

6 . 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、）．
(1)求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；
(2)求证：为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．

7 . 在数列中，，．
(1)写出，，，，猜想这个数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．

8 . 已知前n项和为的正项数列中，.
(1)求，，并猜测数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想.

9 . 已知数列满足．
(1)设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．

10 . 已知数列满足

(1)求出项，并由此猜想的通项公式
(2)用数学归纳法证明的通项公式