1 . 已知数列各项均为正数，，，且对任意恒成立．
（1）若，求的值；
（2）若，①证明：数列是等差数列；②在数列中，若，，构成等比数列求符合条件的一组的值（满足题意的一组值即可），说明理由．

2 . 已知数列满足：，，．
（1）计算，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

3 . 设正项数列满足．
（1）求的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

4 . 设各项均为整数的无穷数列满足，且对所有，均成立.
（1）求的所有可能值；
（2）若数列使得无穷数列是公差为1的等差数列，求数列的通项公式；
（3）求证：存在满足条件的数列，使得在该数列中有无穷多项为2021.

5 . 在数列，中，，，且，.
（1）求，的值；
（2）求的通项公式；
（3）设，记的前n项和为，证明：.

6 . 已知数列中，，.
（1）计算，，的值；
（2）根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.

7 . 已知数列满足，，设．
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，说明理由；并求的通项公式．

8 . 在数列中，，.
（1）求、、的值；
（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.

9 . 已知数列，首项，前项和足.
（1）求出，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.

10 . 已知在数列中，，对于，
求，并证明介于和之间；
若，求数列的通项公式，并证明.