解题方法
1 . 已知等差数列
的前
项和为
，且
为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)在
与
之间插入个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，记数列
的前项和为
，求证：
．
的前项和为，且为等差数列．(1)求
的通项公式；(2)在
与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：．
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解题方法
2 . 已知
是数列的前n项和，
是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求的表达式和数列的通项公式；
(2)证明：
是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．(1)求
的表达式和数列的通项公式；(2)证明：
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3 . 已知数列的前n项和为．若对每一个
，有且仅有一个
，使得
，则称为“X数列”.记
，，称数列
为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，
，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：
．
的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.(1)若
的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若
，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列
为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
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4 . 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且
是
和
的等差中项，
是和
的等差中项.
(1)证明：
.
(2)已知
，记数列
是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求
.
为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项.(1)证明：
.(2)已知
，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求.
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5 . 已知数列为等差数列，，
，数列满足
，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列
是等比数列；
(3)设
，求数列的前项和.
为等差数列，，，数列满足，.(1)求数列
的通项公式；(2)求证：数列
是等比数列；(3)设
，求数列的前项和.
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解题方法
6 . 在数列中，
，都有
成立.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若数列是首项为1的等差数列，求实数
的值及数列的前项和.
中，，都有成立.(1)证明：数列
是等差数列；(2)若数列
是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和.
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2024·全国·模拟预测
7 . 已知正项数列满足.
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的通项公式；
条件①：当
时，
；
条件②：数列
与
均为等差数列；
(2)在（1）的基础上，设为数列
的前n项和，证明：
.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
满足.(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列
的通项公式；条件①：当
时，；条件②：数列
与均为等差数列；(2)在（1）的基础上，设
为数列的前n项和，证明：.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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8 . 已知
为非零常数，
，若对
，则称数列为
数列．
(1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列；
(2)设
，若为数列，证明：
；
(3)若为数列，证明：
，使得
．
为非零常数，，若对，则称数列为数列．(1)证明：
数列是递增数列，但不是等比数列；(2)设
，若为数列，证明：；(3)若
为数列，证明：，使得．
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9 . 已知数列满足
，
，数列满足，
．
(1)求证：
为等差数列，并求通项公式；
(2)若
，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式
恒成立，求实数的范围．
满足，，数列满足，．(1)求证：
为等差数列，并求通项公式；(2)若
，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
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10 . 已知等差数列的前项和为，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足
，令
，求证：
．
的前项和为，且．(1)求数列
的通项公式；(2)数列
满足，令，求证：．
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2024-05-04更新
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2085次组卷
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2卷引用：浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题
