1 . 已知是等差数列，是公比为q的等比数列，，，记为数列的前n项和.
(1)若（m，k是大于2正整数），求证：；
(2)若（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
(3)是否存在这样的正数q，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.

2 . 等差数列各项均为正整数，，前n项和为，等比数列中，，且，是公比为64的等比数列．
(1)求与；
(2)证明：．

3 . 已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

4 . 设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：

5 . 等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

6 . 已知｛a_n｝是正数组成的数列，a₁=1，且点（）（nN*）在函数y=x²+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛a_n｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛b_n｝满足b₁=1,b_n+1=b_n+，求证：b_n·b_n+2＜b²_n+1.

7 . 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（1）求第n年初M的价值的表达式；
（2）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．

8 . 证明以下命题：
（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.

9 . 数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
（1）求；
（2）求证．

10 . 设是各项为正数且公差为d的等差数列
（1）证明：依次成等比数列；
（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；
（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.