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解题方法
1 . 对于数列
，如果存在等差数列
和等比数列
，使得
，则称数列是“优分解”的．
(1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
(2)记
，证明：如果数列是“优分解”的，则
或数列
是等比数列．
(3)设数列的前
项和为
，如果和
都是“优分解”的，并且
，求的通项公式．
，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．(1)证明：如果
是等差数列，则是“优分解”的．(2)记
，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．(3)设数列
的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．
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解题方法
2 . 已知函数
，等差数列的前项和为，记
.
(1)求证：
的图象关于点
中心对称；
(2)若
，
，
是某三角形的三个内角，求
的取值范围；
(3)若
，求证：
.反之是否成立?并请说明理由.
，等差数列的前项和为，记.(1)求证：
的图象关于点中心对称；(2)若
，，是某三角形的三个内角，求的取值范围；(3)若
，求证：.反之是否成立?并请说明理由.
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解题方法
3 . 已知数列，满足
，
，且
是等差数列.
(1)若是公比为2的等比数列，求的通项公式；
(2)记，
分别为，的前项和，证明：
.
，满足，，且是等差数列.(1)若
是公比为2的等比数列，求的通项公式；(2)记
，分别为，的前项和，证明：.
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4 . 设正整数
，
，
，这里
. 若
，且
，则称
具有性质
.
(1)当
时，若
具有性质，且，
，
，令
，写出
的所有可能值；
(2)若具有性质：
①求证：
；
②求
的值.
，，，这里. 若，且，则称具有性质.(1)当
时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；(2)若
具有性质：①求证：
；②求
的值.
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5 . 已知等比数列的前项和为，，且
成等差数列.
(1)求
；
(2)设
，是数列的前项和，求
；
(3)设
，
是的前项的积，求证：
（为正整数）.
的前项和为，，且成等差数列.(1)求
；(2)设
，是数列的前项和，求；(3)设
，是的前项的积，求证：（为正整数）.
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解题方法
6 . 已知无穷数列满足：
①
；
②
．
设
为
所能取到的最大值，并记数列
．
(1)若数列为等差数列且，直接写出其公差
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)若，，求数列的前100项和．
满足：①
；②
．设
为所能取到的最大值，并记数列．(1)若数列
为等差数列且，直接写出其公差的值；(2)若
，求的值；(3)若
，，求数列的前100项和．
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解题方法
7 . 设有穷数列
的所有项之和为
，所有项的绝对值之和为
，若数列
满足下列两个条件，则称其为阶“
数列”：①
；②
.
(1)若2023阶“数列”
是递减的等差数列，求
；
(2)若
阶“数列”
是等比数列，求的通项公式（
，用
表示）；
(3)设阶“数列”的前项和为
，若
，使得
，证明：数列
不可能为阶“
1数列”.
的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列满足下列两个条件，则称其为阶“数列”：①；②.(1)若2023阶“
数列”是递减的等差数列，求；(2)若
阶“数列”是等比数列，求的通项公式（，用表示）；(3)设
阶“数列”的前项和为，若，使得，证明：数列不可能为阶“1数列”.
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解题方法
8 . 若数列的项的最大奇因数为
，则
叫做的“滤净数列”．已知数列满足
是的滤净数列．
(1)求的通项公式及
的值；
(2)若
，求
的前
项和
．
的项的最大奇因数为，则叫做的“滤净数列”．已知数列满足是的滤净数列．(1)求
的通项公式及的值；(2)若
，求的前项和．
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2024-04-25更新
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268次组卷
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3卷引用：河南省青桐鸣联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
9 . 已知数列，记集合
.
(1)若数列为
，写出集合；
(2)若
，是否存在
，使得
？若存在，求出一组符合条件的
；若不存在，说明理由；
(3)若
，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为
， 若
，求的最大值．
，记集合.(1)若数列
为，写出集合；(2)若
，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；(3)若
，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
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2024-04-10更新
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927次组卷
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2卷引用：2024届北京市延庆区高考一模数学试题
10 . 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是
，接下来的两项是，
，再接下来的三项是，，
，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若
，使得
，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足
的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足
的最小的“佳幂数”；（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
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