1 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

2 . 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数，.

3 . 设是公差为的等差数列，是公比为（）的等比数列，记.
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）若，，数列前2项和为14，前8项和为857，求数列通项公式；
（3）在（2）的条件下，问：数列中是否存在四项、、、成等差数列？请证明你的结论.

4 . 已知公差大于0的等差数列的前项和，且满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是等差数列，且，求非零常数；
(3)若（2）中的的前项和，求证：.

5 . 在①，②其前项和为，③其前项和为，三个条件中任选一个，补充到横线处，并解答.已知数列为等差数列，
(1)求数列的通项公式.
(2)若，证明数列的前项和满足.

6 . 已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：

7 . 已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.

8 . 已知等差数列 前项和为，且 .

(1)若 ，求证：数列 是等差数列.
(2)求数列的前项和.

9 . 已知等差数列的前项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，记数列的前项和为，
证明：．

10 . 设等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求证：．