1 . 已知数列中，，且.
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.

2 . 已知数列{a_n}各项均不相同，a₁＝1，定义，其中n，k∈N*．
（1）若，求；
（2）若b_n＋1(k)＝2b_n(k)对均成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（i）求数列{a_n}的通项公式；
（ii）若k，t∈N^*，且S₁，S_k－S₁，S_t－S_k成等比数列，求k和t的值．

3 . 设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列．
（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
（2）已知数列为“好”数列．
① 若，求数列的通项公式；
② 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：．

4 . 各项均为正数的数列中，设，，且．
(1)设，证明：数列是等比数列；
(2)设，求集合．

5 . 设数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，证明：数列中任意三项不可能构成等差数列．

6 . 已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，若a_n+2+2a_n+1+a_n=0对任意都成立，则数列{a_n}的前n项和S_n=____________.

7 . 已知数列的首项， .若对，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.

8 . 设首项为1的正项数列的前n项和为，且.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）数列是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
（3）设试问是否存在正整数使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，说明理由．

9 . 已知数列满足a₁＝m，a_n＋1＝ (k∈N^*，r∈R)，其前n项和为.
(1)当m与r满足什么关系时，对任意的n∈N^*，数列{a_n}都满足a_n＋2＝a_n?
(2)对任意实数m，r，是否存在实数p与q，使得{a_2n＋1＋p}与{a_2n＋q}是同一个等比数列.若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3)当m＝r＝1时，若对任意的n∈N^*，都有S_n≥λa_n，求实数λ的最大值.

10 . 已知为正整数，数列满足，，设数列满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若数列是等差数列，求实数的值；
(3)若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.