1 . 记数列的前项和为，已知.若对任意的偶数恒成立，则实数的最小值为____________.

2 . 一个不透明的袋中装有个标号为的小球和个标号为的小球，这些小球除了标号，大小与形状完全相同.现从袋中随机取出一个小球，若标号为，则放回袋中；若标号为，则不再放回，另补一个标号为的小球放入袋中，重复进行次这样的试验后，记袋中所有小球的标号之和为.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）若的数学期望为，求证：为等比数列.

3 . 已知数列和都是等差数列，.数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）证明：是等比数列；
（3）是否存在首项为1，公比为q的等比数列，使得对任意，都有成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由.

4 . 数列满足对任意的恒成立，为其前n项的和，且，.
（1）求数列的通项；
（2）数列满足，其中.
①证明：数列为等比数列；
②求集合

5 . 定义：设是正整数，如果对任意正整数，当时，即有，那么称数列的前项可被数列的第项替换.已知数列的前项和是，数列是公差为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式（用，表示）；
（2）已知，数列的前项和满足；
①求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
②若数列的前可被数列的前项替换，且的最大值为8，求的取值范围.

6 . （1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.

7 . 已知数列，，，则____．

8 . 已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.

9 . 某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．
（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；
（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．
（参考数据：，，）

10 . 给定数列，若满足（且），对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．
（1）已知数列的通项公式为，试判断数列是不是“指数型数列”；
（2）已知数列满足，，证明数列为等比数列，并判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
（3）若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列．