2024·全国·模拟预测
1 . 已知定义域为的函数满足如下条件:①对任意的,总有;②;③当,,时,恒成立.已知正项数列满足,且,,令
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求证:().
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求证:().
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名校
2 . 在正项无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为阶等比数列.在无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为阶等差数列.
(1)若为1阶等比数列,,求的通项公式及前项和;
(2)若为阶等比数列,求证:为阶等差数列;
(3)若既是4阶等比数列,又是5阶等比数列,证明:是等比数列.
(1)若为1阶等比数列,,求的通项公式及前项和;
(2)若为阶等比数列,求证:为阶等差数列;
(3)若既是4阶等比数列,又是5阶等比数列,证明:是等比数列.
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2024-03-10更新
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804次组卷
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4卷引用:河南省TOP二十名校2024届高三下学期质检一数学试题
名校
解题方法
3 . 日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下,一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量,根据统计数据,它近似满足如下规律:对任意正整数,寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件,“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是( )
A. |
B. |
C.设,则为等比数列 |
D.设,则 |
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2024-02-27更新
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1365次组卷
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2卷引用:浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期返校考试数学试卷
解题方法
4 . 数列满足且,,,构成等差数列.
(1)试求出所有三元实数组(α,β,γ),使得为等比数列.
(2)若,求的通项公式.
(1)试求出所有三元实数组(α,β,γ),使得为等比数列.
(2)若,求的通项公式.
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5 . 在各项均为正数的数列中,,,.
(1)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若,记数列的前n项和为.
(i)求;(ii)证明:.
(1)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若,记数列的前n项和为.
(i)求;(ii)证明:.
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2023高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 设是各项为正数且公差为的等差数列
(1)证明:依次成等比数列;
(2)是否存在,使得依次成等比数列,并说明理由;
(3)是否存在及正整数,使得依次成等比数列,并说明理由.
(1)证明:依次成等比数列;
(2)是否存在,使得依次成等比数列,并说明理由;
(3)是否存在及正整数,使得依次成等比数列,并说明理由.
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7 . 定义:对于任意一个有穷数列,在其每相邻的两项间都插入这两项的和,得到的新数列称为一阶和数列,如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和,得到二阶和数列,以此类推可以得到阶和数列,如的一阶和数列是,设n阶和数列各项和为.
(1)试求数列的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和,并猜想的通项公式(无需证明);
(2)设,的前项和,若,求的最小值
(1)试求数列的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和,并猜想的通项公式(无需证明);
(2)设,的前项和,若,求的最小值
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名校
解题方法
8 . 我们把一系列向量,,按次序排成一列,称之为向量列,记作.已知向量列满足:,(,)
(1)求数列的通项公式:
(2)设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.
(3)设()表示向量与间的夹角,为与轴正方向的夹角,若,若存在正整数,使得不等式成立,求实数的取值范围.
(1)求数列的通项公式:
(2)设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.
(3)设()表示向量与间的夹角,为与轴正方向的夹角,若,若存在正整数,使得不等式成立,求实数的取值范围.
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9 . 在一个传染病流行的群体中,通常有3类人群:
在一个600人的封闭环境中,设第n天S类,I类,R类人群人数分别为,,.其中第1天,,.为了简化模型,我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定:
(1)已知对于传染病A有,,.求,;
(2)已知对于传染病B有,,.
(Ⅰ)证明:存在常数p,q,使得是等比数列;
(Ⅱ)已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含:①控制感染人数;②保护易感人群.请选择一项,通过相关计算说明:实际生活中,相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B.
类别 | 特征 |
S类(Susceptible) | 易感染者,体内缺乏有关抗体,与I类人群接触后易变为I类人群. |
I类(Infectious) | 感染者,可以接触S类人群,并把传染病传染给S类人群;康复后成为R类人群. |
R类(Recovered) | 康复者,自愈或者经治疗后康复且体内存在相关抗体的I类人群;若抗体存在时间有限,可能重新转化为S类人群. |
S类→I类占当天S类比例 | I类→R类占当天I类比例 | R类→S类占当天R类比例 |
(2)已知对于传染病B有,,.
(Ⅰ)证明:存在常数p,q,使得是等比数列;
(Ⅱ)已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含:①控制感染人数;②保护易感人群.请选择一项,通过相关计算说明:实际生活中,相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B.
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10 . 已知数列满足.
(1)当时,求证:数列不可能是常数列;
(2)若,求数列的前项的和;
(3)当时,令,判断对任意,是否为正整数,请说明理由.
(1)当时,求证:数列不可能是常数列;
(2)若,求数列的前项的和;
(3)当时,令,判断对任意,是否为正整数,请说明理由.
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2021-12-21更新
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1109次组卷
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4卷引用:上海市奉贤区2022届高三一模数学试题