23-24高一下·福建厦门·期中
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解题方法
1 . 如图(1),正三棱柱,将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转,,分别连接得到如图(2)的八面体
(ⅰ)求证:共面;
(ⅱ)求多边形的面积;
(2)求该八面体体积的最大值.
(1)若,依次连接该八面体侧棱的中点分别为M,N,P,Q,R,S,
(ⅰ)求证:共面;
(ⅱ)求多边形的面积;
(2)求该八面体体积的最大值.
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解题方法
2 . 日常生活中,较多产品的包装盒呈正四棱柱状,比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时,为美观起见,通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎,常见的捆扎方式有两种,如图(A)、(B)所示,并配上花结.
(1)若,记点关于平面的对称点为,点关于直线的对称点为.
(ⅰ)求线段的长;
(ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
(2)据烘焙店的店员说,图(A)这样的捆扎不仅漂亮,而且比图(B)的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗?请给出你的理由.(注意,此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一)
图(A)中,正四棱柱的底面是正方形,且,.
(1)若,记点关于平面的对称点为,点关于直线的对称点为.
(ⅰ)求线段的长;
(ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
(2)据烘焙店的店员说,图(A)这样的捆扎不仅漂亮,而且比图(B)的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗?请给出你的理由.(注意,此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一)
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解题方法
3 . 柯西是一位伟大的法国数学家,许多数学定理和结论都以他的名字命名,柯西不等式就是其中之一,它在数学的众多分支中有精彩应用,柯西不等式的一般形式为:设,则当且仅当或存在一个数,使得时,等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式;
(2)设P是棱长为的正四面体内的任意一点,点到四个面的距离分别为、、、,求的最小值;
(3)已知无穷正数数列满足:①存在,使得;②对任意正整数,均有.求证:对任意,,恒有.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式;
(2)设P是棱长为的正四面体内的任意一点,点到四个面的距离分别为、、、,求的最小值;
(3)已知无穷正数数列满足:①存在,使得;②对任意正整数,均有.求证:对任意,,恒有.
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名校
解题方法
4 . 已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面,,,且,和的夹角为.(1)证明:四面体的体积为定值;
(2)已知异于、两点的动点,且、、、、均在半径为的球面上.求点到直线的距离的取值范围.
(2)已知异于、两点的动点,且、、、、均在半径为的球面上.求点到直线的距离的取值范围.
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解题方法
5 . 已知四棱柱中,平面,在底面四边形中,,点是的中点.
(2)设且,若直线与平面所成角等于,求的值.
(1)若平面平面,求三棱锥的体积;
(2)设且,若直线与平面所成角等于,求的值.
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6 . 如图所示,用一个不平行于圆柱底面的平面,截该圆柱所得的截面为椭圆面,得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”,AB是底面圆的直径,,椭圆所在平面垂直于平面ABCD,且与底面所成二面角为,图一中,点是椭圆上的动点,点在底面上的投影为点,图二中,椭圆上的点在底面上的投影分别为,且均在直径AB的同一侧.(1)当时,求的长度;
(2)(i)当时,若图二中,点将半圆均分成7等份,求;
(ii)证明:.
(2)(i)当时,若图二中,点将半圆均分成7等份,求;
(ii)证明:.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
7 . 正四棱锥的外接球半径为R,内切球半径为r,求证:的最小值为.
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8 . 人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的,以后人们又认为地球是个圆球.17世纪,牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论,这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实,之前中国就曾进行了大规模的弧度测量,发现纬度越高,每度子午线弧长越长的事实,这同地球两极略扁,赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体,椭球体的表面为椭球面,在空间直角坐标系下,椭球面,这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内,其中按其大小,分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面的截痕是椭圆.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点,过点分别作椭圆的切线,两切线交于点,求面积的最小值.
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当时,椭球面围成的椭球是一个旋转体,类比计算球的体积的方法,运用祖暅原理求该椭球的体积.
(1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点,过点分别作椭圆的切线,两切线交于点,求面积的最小值.
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当时,椭球面围成的椭球是一个旋转体,类比计算球的体积的方法,运用祖暅原理求该椭球的体积.
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2024高三·全国·专题练习
9 . 如图,已知的直角边,点是从左到右的四等分点(非中点).已知椭圆所在的平面⊥平面,且其左右顶点为,左右焦点为,点在上.
(1)求三棱锥体积的最大值;
(2)证明:二面角不大于60°.
(1)求三棱锥体积的最大值;
(2)证明:二面角不大于60°.
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23-24高一上·浙江绍兴·期末
10 . 如图1,在梯形中,,是线段上的一点,,,将沿翻折到的位置.
(1)如图2,若二面角为直二面角,,分别是,的中点,若直线与平面所成角为,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围;
(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,点为线段的中点,,分别在线段,上(不包含端点),且为,的公垂线,如图3所示,记四面体的内切球半径为,证明:.
(1)如图2,若二面角为直二面角,,分别是,的中点,若直线与平面所成角为,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围;
(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,点为线段的中点,,分别在线段,上(不包含端点),且为,的公垂线,如图3所示,记四面体的内切球半径为,证明:.
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