1 . 如图所示，在长方体中，，，为棱的中点．

(1)若是线段上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．
(2)过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围．

2 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.

   

(1)已知为中点，求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角．

3 . 如图，在三棱锥中，分别为棱的中点.

   

(1)证明：平面平面；
(2)若点到底面的距离等于，且，求二面角的正弦值.

4 . 如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.

   

(1)求证：平面平面；
(2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值.

5 . 已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为______.

6 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为上一点，且．

(1)若是直角三角形，求证：；
(2)若为锐角，且四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．

7 . 如图，四棱锥中，四边形是菱形，，是正三角形，是的重心，点满足.

(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 如图，在四棱锥中，，，连接．

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角正弦值的大小．

9 . 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）.

(1)若，求证：点四点共面；
(2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.

10 . 如图，在三棱柱中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.