1 . 如图，圆柱的底面半径为1，侧面积为，，分别是圆柱上、下底面圆的一条直径，且点在下底面的投影点平分圆弧.

(1)若圆柱上下底面的圆周均在球的表面上，求球的表面积；
(2)求四面体的体积.

2 . 如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，三棱锥的外接球半径.
   
(1)求三棱锥的侧面积的最大值；
(2)若在底面上，有一个小球由顶点处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为.若小球滚动3次，记球滚到顶点处的次数为，求数学期望的值.

4 . 在正三棱锥中，，点在线段上.过点作平行于和的平面，分别交棱于点M，N，O.
   
(1)证明：四边形为矩形；
(2)若，求多面体MNPOBC的体积.

5 . 如图，扇形的半径为2，圆心角为，点是弧上一动点（不包括端点），且于，于.设，将扇形绕所在直线旋转一周，由图中空白部分旋转形成的几何体的表面积记为，体积记为.
   
(1)若，求；
(2)当为多大时，最大，并求最大值.

6 . 意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，、为半圆弧上的点，，，阴影部分为弦、、与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．
   
(1)写出该几何体的主要结构特征（至少两条）；
(2)计算该几何体的体积．

9 . 如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．