2024高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 设四面体的内切球半径为
，各顶点到对面的距离分别为
，求证
．
，各顶点到对面的距离分别为，求证．
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解题方法
2 . 如图，在三棱锥
中，平面
平面BCD，
，
，H为BD的中点，
，
．
(1)求证：
；
(2)求异面直线BC与AD所成角的大小．
(3)若
，求三棱锥外接球的体积．
中，平面平面BCD，，，H为BD的中点，，． (1)求证：
；(2)求异面直线BC与AD所成角的大小．
(3)若
，求三棱锥外接球的体积．
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解题方法
3 . 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（
）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为
，则（ ）
）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（ ）A． | B． |
C．当 时， | D．当 时， |
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2024-01-26更新
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528次组卷
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3卷引用：江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题
江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题云南省大理州祥云县部分高中（云·上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点4 四面体体积公式拓展综合训练【培优版】
名校
4 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为
.
(1)当
，
时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
(2)如图，当，
时，平面
与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线
，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点
，
，若点
为曲线上任意一点，求证：
为定值；
(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球
个，求的最大值
.
，母线长为. (1)当
，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）(2)如图，当
，时，平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱的侧面相交，设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点，，若点为曲线上任意一点，求证：为定值；(3)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为
的同样大小的小球个，求的最大值.
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2023-10-22更新
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468次组卷
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4卷引用：上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题六 空间定值问题 微点1 立体几何中的定值问题综述及定长、定距问题【培优版】（已下线）第四章 立体几何解题通法 专题一 降维法 微点4 降维法综合训练【基础版】
5 . 沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.
(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；
(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.
(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；
(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.
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6 . 如图，在三棱柱
中，
，
，
平面
．
(1)求证：
平面
；
(2)若点
在棱
上，当
的面积最小时，求三棱锥
外接球的体积．
中，，，平面． (1)求证：
平面；(2)若点
在棱上，当的面积最小时，求三棱锥外接球的体积．
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解题方法
7 . 已知E，F分别为
的重心和外心，D是BC的中点，
，
．
(1)求BE；
(2)如图，P为平面ABC外一点，
平面ABC，二面角
的正切值为4．
①求证：
；
②求三棱锥
的外接球的体积．
的重心和外心，D是BC的中点，，． (1)求BE；
(2)如图，P为平面ABC外一点，
平面ABC，二面角的正切值为4．①求证：
；②求三棱锥
的外接球的体积．
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解题方法
8 . 如图，在正四棱柱
中，
，
∥平面MAC．
(1)证明：M是
的中点；
(2)若正四棱柱的外接球的体积是
，求该正四棱柱的表面积．
中，，∥平面MAC． (1)证明：M是
的中点；(2)若正四棱柱的外接球的体积是
，求该正四棱柱的表面积．
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2023-07-28更新
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453次组卷
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2卷引用：安徽省宣城市2022-2023学年高一下学期期末调研测试数学试卷
9 . 如图，在正六棱锥
中，
为底面中心，
，
．
(1)若
，
分别是棱
，
的中点，证明：
平面
；
(2)若该正六棱锥的顶点都在球
的表面上，求球的表面积和体积．
中，为底面中心，，． (1)若
，分别是棱，的中点，证明：平面；(2)若该正六棱锥的顶点都在球
的表面上，求球的表面积和体积．
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2023-07-11更新
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412次组卷
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2卷引用：辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末数学试题
名校
10 . 在正四棱柱中，，M是的中点．
(1)证明：
平面
．
(2)若正四棱柱的表面积是10，求该正四棱柱的外接球的体积．
中，，M是的中点． (1)证明：
平面．(2)若正四棱柱的表面积是10，求该正四棱柱的外接球的体积．
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