1 . 若
，则称
为
维空间向量集，
为零向量，对于
，任意
，定义：
①数乘运算：
；
②加法运算：
；
③数量积运算：
；
④向量的模：
，
对于中一组向量
，若存在一组不同时为零的实数
使得
，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：
①
；
②
；
(2)已知
线性无关，试判断
是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于中的任意两个元素
，均有
，
，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：①数乘运算：
；②加法运算：
；③数量积运算：
；④向量的模：
，对于
中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：①
；②
；(2)已知
线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；(3)证明：对于
中的任意两个元素，均有，
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名校
2 . 已知正方体
的棱长为1，点P满足
，
，
，
（P，B，D，
四点不重合），则下列说法正确的是（ ）．
的棱长为1，点P满足，，，（P，B，D，四点不重合），则下列说法正确的是（ ）．A．当 时， 的最小值是1 |
B．当 ， 时， ∥平面 |
C．当 ， 时，平面 平面 |
D．当 ， 时，直线 与平面 所成角的正切值的最大值为 |
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2023-12-09更新
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728次组卷
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8卷引用：广东省执信、深外、育才等学校2024届高三上学期12月联考数学试题
名校
3 . 正方体中，点P满足
，且
，直线
与平面
所成角为
，则
_____________ ．
中，点P满足，且，直线与平面所成角为，则
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名校
解题方法
4 . 点P是长方体内的动点，已知
，Q是平面BC₁D上的动点，满足
，则
的最小值是______ .
内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是
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2023-11-11更新
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333次组卷
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5卷引用：浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题浙江省金华市武义第一中学2023-2024学年高二上学期11月检测2数学试题（已下线）3.3 空间向量的坐标表示(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）压轴小题5 空间向量中的最值问题
名校
5 . 如图所示的几何体
中，
和
均为以
为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，
，
，
为
的中点.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）设
为线段
上的动点，使得平面
平面
，求线段
的长.
中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.（1）求证：
；（2）求二面角
的大小；（3）设
为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.
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2020-05-27更新
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2371次组卷
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16卷引用：山东省潍坊市寿光市现代中学2020-2021学年高二（上）期中数学试题
山东省潍坊市寿光市现代中学2020-2021学年高二（上）期中数学试题辽宁省大连市红旗高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题广东省深圳市福田区外国语高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题2020届天津市河西区高考一模数学试题山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题山东省寿光现代中学2020-2021学年高二11月月考数学试题（已下线）考点29 空间向量解决空间直线、平面位置关系-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过（已下线）专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）海南省北京师范大学万宁附属中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题天津市南开中学2022-2023学年高三上学期10月阶段性统一练习(一)数学试题广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）2022-2023学年上学期高二9月月考数学试题广东省台山市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）第01讲 空间向量及其运算（6大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题01 空间向量与立体几何（5）（已下线）高二数学第一学期期期末押题密卷03卷（已下线）第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
名校
6 . 如图，三棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，点是棱
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线与平面
所成角的正弦值；
（3）设点是线段
的中点，棱
上是否存在点
，使得
平面？若存在，求
的值；若不存在，说明理由.
中，平面平面，，，，，，点是棱的中点.（1）求证：
平面；（2）求直线
与平面所成角的正弦值；（3）设点
是线段的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
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7 . 已知
，
，
和
为空间中的4个单位向量，且
，则
不可能等于
，，和为空间中的4个单位向量，且，则不可能等于| A．3 | B． | C．4 | D． |
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2019-01-03更新
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3229次组卷
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7卷引用：上海市复兴高级中学2022届高三上学期期中数学试题
上海市复兴高级中学2022届高三上学期期中数学试题四川省雅安市天立学校2022-2023学年高二下学期期中教学质量测试数学（理）试题【校级联考】浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试题【校级联考】浙江省丽水市四校联考2018-2019学年高二5月阶段性考试数学试题（已下线）1.1 空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）上海市黄浦区大同中学2022届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题01 空间向量及其运算压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）
