1 . 半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若
，
，
，则
（ ）
，，，则（ ）
A． | B． |
C． | D． |
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2023-07-05更新
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655次组卷
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9卷引用：模块四 专题8 高考新题型（复杂情景题专训）拔高能力练（人教A）
（已下线）模块四 专题8 高考新题型（复杂情景题专训）拔高能力练（人教A）（已下线）第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第01讲 空间向量及其运算（已下线）专题03 空间向量基本定理4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)江西省萍乡市稳派联考2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题江西省南昌市部分学校2022-2023学年高二下学期5月调研测试数学试题（已下线）1.2 空间向量基本定理(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）模块一 专题1 空间向量的基本运算 B提升卷 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高二人教A版（已下线）模块一 专题5《 空间向量运算》 A基础卷（苏教版）
22-23高二上·浙江杭州·期中
2 . 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足
，点P满足
．
(1)用向量
，
，
表示
；
(2)求
．
，点P满足．(1)用向量
，，表示；(2)求
．
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2023-11-25更新
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371次组卷
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13卷引用：艺体生一轮复习 第七章 立体几何 第35讲 空间向量及其运算【讲】
（已下线）艺体生一轮复习 第七章 立体几何 第35讲 空间向量及其运算【讲】（已下线）模块四 专题4 大题分类练 《空间向量与立体几何》拔高能力练浙江省杭州第四中学下沙校区2022-2023学年高二上学期期中数学试题浙江省杭州第四中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题山东省淄博市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）6.1.2空间向量的数量积（1）江苏省徐州高级中学2022-2023学年高二下学期3月学情调研数学试题（已下线）陕西省宝鸡实验高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题浙江省S9联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）专题4 大题分类练（空间向量与立体几何）拔高能力练 高二期末江苏省盐城市射阳中学2023-2024学年高二上学期第二阶段测试数学试题（已下线）专题11 空间向量及其运算10种常见考法归类（3）（已下线）6．1 空间向量及其运算（4）
22-23高二上·山西晋中·期末
解题方法
3 . 如图所示，在棱长为2的正四面体
中，
为等边三角形
的中心，
分别满足
.
(1)用
表示
，并求出
；
(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
中，为等边三角形的中心，分别满足. (1)用
表示，并求出；(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
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2023·广西·一模
4 . 已知棱长为8的正方体
中，平面ABCD内一点E满足
，点P为正方体表面一动点，且满足
，则动点P运动的轨迹周长为___________ ．
中，平面ABCD内一点E满足，点P为正方体表面一动点，且满足，则动点P运动的轨迹周长为
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2022-12-30更新
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849次组卷
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5卷引用：模块五 空间向量与立体几何-3
（已下线）模块五 空间向量与立体几何-3（已下线）重难点突破04 立体几何中的轨迹问题（六大题型）广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试(一模)数学（理）试题广西桂林崇左市2023届高三上学期联合调研考试（一调）数学（理）试题广西壮族自治区河池、来宾、百色、南宁市2023届高三上学期联合调研考试理科数学试题
21-22高二上·全国·课后作业
名校
5 . 如图，已知正方体
，
分别是上底面
和侧面
的中心，求下列各式中
的值：
；
(2)
；
(3)
.
，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的值：
；(2)
；(3)
.
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2023-10-04更新
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188次组卷
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10卷引用：模块一 专题11 空间向量与立体几何
（已下线）模块一 专题11 空间向量与立体几何（已下线）1.1 空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.2 空间向量基本定理【第一练】人教A版(2019) 选择性必修第一册 新高考名师导学 第一章 1.1 空间向量及其运算（已下线）1.1 空间向量及其运算（已下线）专题1.9 空间向量与立体几何全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）人教A版（2019）选择性必修第一册课本习题1.1 空间向量及其运算（已下线）高二上学期第一次月考十六大题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）福建省厦门海沧实验中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测数学试题山东省临沂市平邑县平邑县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题
20-21高二下·湖北·期中
名校
6 . 已知空间中三点
，
，
，则下列结论错误的是（ ）
A． 与 是共线向量 | B．与同向的单位向量是 |
C．与 夹角的余弦值是 | D．平面 的一个法向量是 |
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2023-09-06更新
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2197次组卷
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76卷引用：专题16 空间向量及其应用（练习）-2
（已下线）专题16 空间向量及其应用（练习）-2（已下线）第20讲 空间向量与立体几何-2（已下线）全册综合测试模拟一 -【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）（已下线）1.4 空间向量的应用-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第1.5讲 用空间向量研究直线和平面的位置关系-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）3.3空间向量的坐标表示（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）（已下线）6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）黑龙江省绥化市海伦市第二中学2023届高三上学期期中数学试题（已下线）模块一 专题1 空间向量与立体几何（人教A）2（已下线）通关练02 用空间向量的解决平行垂直问题10考点精练（50题） - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题湖北省孝感市汉川二中2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）专题1.1 空间向量与立体几何 章末检测1（易）-【满分计划】2021-2022学年高二数学阶段性复习测试卷（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）卷12 选择性必修第一册高二上期中考试 总复习检测3（中）-2021-2022学年高二数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版选择性必修第一册+第二册）（已下线）卷01 空间向量与立体几何-单元检测（易）-2021-2022学年高二数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版选择性必修第一册+第二册）（已下线）专题1.10 空间向量的应用-重难点题型检测-2021-2022学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题02 空间向量及其运算的坐标表示 - 2021-2022高二上学期数学新教材配套提升训练（人教A2019选择性必修第一册）广东省广州市第八十九中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题广东省佛山市南海区里水高级中学2021-2022学年高二上学期第一次大测数学试题（已下线）卷16 高二第一次月考(10月)检测卷（易） -2021-2022学年高二数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版选择性必修第一册+第二册）广东省深圳市福田区外国语高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题广东省佛山市第二中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题江苏省扬州市高邮市第一中学2021-2022学年高二下学期期末适应性考试数学试题广东省汕头市潮阳区棉城中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题第一章 空间向量与立体几何单元测试（巅峰版）湖南省长沙市长郡湘府中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题上海市七宝中学2022-2023学年高二上学期开学考数学试题广东省湛江市第四中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题安徽省淮南市第五中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题辽宁省大连部分重点高中2022-2023学年高二上学期10月月考数学试卷广东省中山市民众德恒学校2022-2023学年高二上学期第一次段考数学试题湖北省武汉市第十九中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖北省武汉市第三中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试题广东省四中、三中、培正三校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题广东省普宁市华侨中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题上海奉贤区致远高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题03 空间向量及其应用（11个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）山东省青岛市青岛第二中学分校2022-2023学年高二上学期期中数学试题山西省运城市景胜中学2022-2023学年高二上学期11月月考数学（B）试题广东省清远市博爱学校2022-2023学年高二上学期第二次教学质量检测数学试题黑龙江省大庆市肇州县第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题河北省唐山市开滦第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题湖北省襄阳东风中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）期中测试卷（基础篇）（范围：第一章+第二章椭圆）-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)广西柳州市鹿寨县鹿鸣中学2022-2023学年高二下学期第一次月考模拟卷数学试题广东省佛山市荣山中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）2.4.1 空间直线的方向向量和平面法向量（同步练习）-【素养提升—课时练】2022-2023学年高二数学湘教版选择性必修第二册检测（提高篇）湖北省仙桃荣怀学校2022-2023学年高二下学期第二次诊断考试数学试题江西省吉安市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次段考数学试题（已下线）高二下期中真题精选（常考60题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）广东省佛山市高明区第一中学2022-2023学年高二上学期第一次大考（10月）数学试题山东省聊城第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题广东省佛山市第三中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题安徽省淮南市兴学教育2023-2024学年高二上学期第一次综合测试数学试题广东省东莞市光明中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题安徽省淮南市兴学教育咨询有限公司2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题广东省广州市真光中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性质量检测数学试题四川省广元中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段性测试（10月）数学试题广东省湛江市雷州市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题福建省厦门海沧实验中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测数学试题河北省衡水市第十四中学2023-2024学年高二上学期一调数学试题广东省广州中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题黑龙江省鸡西市虎林高级中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题广东省佛山市超盈实验中学2023-2024学年高二上学期第二次段考复习（三）数学试题安徽省安庆市怀宁县第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题广东省云浮市罗定中学城东学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题广东省惠州市仲恺高新区华实高级中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题福建省三明市将乐县第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）期中真题必刷常考60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）期中测试卷02（测试范围：第10-11章+空间向量与立体几何）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）
7 . 如图，在三棱锥
中，设
，若
，则
（ ）
中，设，若，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2022-11-13更新
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1592次组卷
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23卷引用：第05讲 空间向量及其应用 (讲）-1
（已下线）第05讲 空间向量及其应用 (讲）-1（已下线）1.1.2 空间向量基本定理（已下线）第1讲 空间向量及其运算 （1）（已下线）1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）（题型分类基础练+能力提升综合练）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.1空间向量及其运算B卷四川省成都外国语学校2021-2022学年高二下学期6月月考数学（理）试题四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高二下学期期末热身考试数学（理）试题天津市静海区四校2021-2022学年高二上学期12月阶段性检测数学试题（已下线）第05讲 空间向量基本定理-2022年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）（已下线）突破1.1 空间向量及其运算（课时训练）2023版 湘教版(2019) 选修第二册 过关斩将 第2章 2.2 空间向量及其运算山东省济宁市微山县第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题广东省广州市番禺区实验中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题河北省石家庄市十八中2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题天津市滨海新区塘沽第一中学2022-2023学年高二上学期第一次统练数学试题河南市郑州优胜实验中学2022-2023学年高二上学期10月第一次月考数学试题湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题广东省广州市真光中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性质量检测数学试题浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题广东省江门市鹤山市纪元中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题2023-2024学年高二上学期期末仿真模拟数学试题05（新高考地区专用）（已下线）高二数学开学摸底考02（新高考地区）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题
22-23高二上·河北保定·阶段练习
名校
8 . 如图，在四面体OABC中，
，且
，则
（ ）
，且，则（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2022-09-29更新
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1847次组卷
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10卷引用：第08讲 第七章 立体几何与空间向量（基础拿分卷）
（已下线）第08讲 第七章 立体几何与空间向量（基础拿分卷）河北省保定市部分学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题天津市耀华中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题浙江省杭州市源清中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题云南省名校联盟2022-2023学年高二上学期9月大联考数学试题湖北省部分重点中学2022-2023学年高二上学期1月期末联考数学试题甘肃省武威市凉州区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2023-2024学年高二上学期期中数学试题广东省深圳市深圳外国语学校高中园2023-2024学年高二上学期学段（一）数学试题广东惠州市泰雅实验高中2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题
9 . 如图，在斜三棱柱
中，M为BC的中点，N为
靠近
的三等分点，设
，
，
，则用
，
，
表示
为（ ）
中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2022-07-13更新
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3218次组卷
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13卷引用：第05讲 空间向量及其应用(练）
（已下线）第05讲 空间向量及其应用(练）（已下线）第6章：空间向量与立体几何 重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)重庆市南开中学校2021-2022学年高一下学期期末数学试题河南省周口市商水县实验高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题第一章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）陕西省西安中学2022-2023学年高二上学期期中理科数学试题广东省广州市思源中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题 山东省枣庄市第八中学2023-2024学年高二上学期开学收心考试数学试题内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题广东省广州中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题广东省佛山市超盈实验中学2023-2024学年高二上学期第二次段考复习（三）数学试题河北省衡水市安平中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（已下线）模块一 专题5 《空间向量运算》（苏教版）
21-22高二上·山东德州·阶段练习
名校
解题方法
10 . 已知空间中三点
，则下列结论正确的有（ ）
，则下列结论正确的有（ ）A． |
B．与共线的单位向量是 |
| C．与夹角的余弦值是 |
D．平面ABC的一个法向量是 |
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2022-11-24更新
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723次组卷
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13卷引用：第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (高频考点—精练）
（已下线）第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (高频考点—精练）山东省德州市第一中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题2023版 湘教版(2019) 选修第二册 过关斩将 第2章 空间向量与立体几何黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题广西柳州市第三中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题福建省泉州市五校联考2022-2023学年高二上学期期中数学试题黑龙江省佳木斯市第十二中学（佳木斯市建三江第一中学）2022-2023学年高二上学期期中数学试题黑龙江省佳木斯市建三江七星农场第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题山西省运城市康杰中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题广东省信宜市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 （第1课时）
