解题方法
1 . 已知椭圆:的左、右焦点分别为、,离心率为,经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点(其中点在轴上方),的周长为8.(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,将平面沿轴折叠,使轴正半轴和轴所确定的半平面(平面)与轴负半轴和轴所确定的半平面(平面)互相垂直.
(i)若,求异面直线和所成角的余弦值;
(ii)是否存在,使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(2)如图,将平面沿轴折叠,使轴正半轴和轴所确定的半平面(平面)与轴负半轴和轴所确定的半平面(平面)互相垂直.
(i)若,求异面直线和所成角的余弦值;
(ii)是否存在,使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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2 . 如图.直四棱柱的底面为菱形,且分別是上,下底面的中心,是AB的中点,.(1)当时,求直线与直线EC所成角的余弦值;
(2)是否存在实数k,使得在平面EBC内的射影恰好为的重心.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)是否存在实数k,使得在平面EBC内的射影恰好为的重心.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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解题方法
3 . 如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点,,分别是的中点.(1)计算:;
(2)求证:;
(3)求异面直线和所成角的余弦值.
(2)求证:;
(3)求异面直线和所成角的余弦值.
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4 . 如图所示,四棱台,底面为一个菱形,且. 底面与顶面的对角线交点分别为,. ,,与底面夹角余弦值为.(1)证明:平面;
(2)现将顶面绕旋转角,旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与的夹角正弦值为,此时求的值();
(3)求旋转后与的夹角余弦值.
(2)现将顶面绕旋转角,旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与的夹角正弦值为,此时求的值();
(3)求旋转后与的夹角余弦值.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
5 . 如图,在四面体中,是以为斜边的等腰直角三角形,为等边三角形,且.
(2)求二面角的余弦值.
(1)求AD与BC所成角的余弦值
(2)求二面角的余弦值.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 如图,在四棱锥P-ABCD中,AP,AB,AD两两垂直,AD=AP=4,AB=BC=2,AD∥BC,M为线段PC上一点(端点除外).
(2)求二面角B-PC-D的平面角的正弦值.
(1)若异面直线BM,AP所成角的余弦值为,求PM的长;
(2)求二面角B-PC-D的平面角的正弦值.
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解题方法
7 . 如图,平面,,,,,为的中点.(1)证明:;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)设是棱上的点,若与所成角的余弦值为,求的长.
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)设是棱上的点,若与所成角的余弦值为,求的长.
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解题方法
8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,过点的动直线交于A,B两点,点在轴上方,且不与轴垂直,的周长为,直线与交于另一点,直线与交于另一点,点为椭圆的下顶点,如图①.(1)当点为椭圆的上顶点时,将平面xOy沿轴折叠如图②,使平面平面,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)若过作,垂足为.
(i)证明:直线过定点;
(ii)求的最大值.
(2)若过作,垂足为.
(i)证明:直线过定点;
(ii)求的最大值.
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2024高三·全国·专题练习
9 . 如图,已知四边形是矩形,平面,且,M、N是线段、上的点,满足.(1)若,求证:直线平面;
(2)是否存在实数,使直线同时垂直于直线,直线?如果有请求出的值,否则请说明理由;
(3)若,求直线与直线所成最大角的余弦值.
(2)是否存在实数,使直线同时垂直于直线,直线?如果有请求出的值,否则请说明理由;
(3)若,求直线与直线所成最大角的余弦值.
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解题方法
10 . 如图,平面平面,为正方形,,且,、、分别是线段、、的中点.(1)求证:平面;
(2)求异面直线与所成的角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使得点到平面的距离为.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由
(2)求异面直线与所成的角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使得点到平面的距离为.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由
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