1 . 已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
(1)求曲线的方程；
(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且证明：直线恒过定点．

2 . 已知圆：.
   
(1)若圆与轴相切，求圆的方程；
(2)如图，当时，圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点为A，B，都有?若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.

3 . 已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.

(1)求圆C的标准方程；
(2)若点B也在圆C上，且弦长为8，求直线的方程；
(3)直线l交圆C于M，N两点，若直线的斜率之和为0，求直线l的斜率.

4 . 如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点．

（Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心．
（Ⅱ）当时，求直线的方程．
（Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．