2024高三·全国·专题练习
1 . 已知椭圆
：
与椭圆
：
的离心率相等，的焦点恰好为的顶点，圆
分别经过，的一个顶点.
(1)求，的标准方程.
(2)过上任意一点A作的切线与交于点M，N，点B是上与M，N不重合的一点，且
（点O为坐标原点），判断点
是否在定圆上.若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
：与椭圆：的离心率相等，的焦点恰好为的顶点，圆分别经过，的一个顶点.(1)求
，的标准方程.(2)过
上任意一点A作的切线与交于点M，N，点B是上与M，N不重合的一点，且（点O为坐标原点），判断点是否在定圆上.若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
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解题方法
2 . 已知椭圆
的短轴长为
，离心率
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为坐标原点，直线
是圆
的一条切线，且直线与椭圆交于
两点，若平行四边形
的顶点
恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
的短轴长为，离心率.(1)求椭圆
的方程；(2)设
为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积.
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解题方法
3 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：
的离心率为
，直线l与Γ相切，与圆O：
相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，
.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为
.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当
的面积最大时，求；
（ⅱ）若，
均存在，记两者中的较大者为
.已知
，
，
均存在，证明：
.
的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为
.（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当
的面积最大时，求；（ⅱ）若
，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
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2024-04-15更新
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1752次组卷
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3卷引用：江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题
4 . 已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为椭圆的左顶点和上顶点，
为左焦点，且
的面积为
．
的标准方程：
(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点
，点
在椭圆上且位于
轴下方，直线
交轴于点
，设
和
的面积分别为
，
若
，求点的坐标：
（ii）若直线
与直线
交于点
，直线
交轴于点
，求证：
为定值，并求出此定值（其中
、
分别为直线
和直线
的斜率）．
的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
的标准方程：(2)设椭圆
的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．（i）若点
，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：（ii）若直线
与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
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解题方法
5 . 在平面直角坐标系
中，椭圆的离心率为，直线
被截得的线段长为
．
(1)求的方程；
(2)已知直线
与圆
相切，且与相交于两点，为的右焦点，求
的周长
的取值范围．
中，椭圆的离心率为，直线被截得的线段长为．(1)求
的方程；(2)已知直线
与圆相切，且与相交于两点，为的右焦点，求的周长的取值范围．
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6 . 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为
，椭圆的“特征三角形”为
，若
，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：
与椭圆：
相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为
，设为上异于其左、右顶点
，
的一点．
①当
时，过分别作椭圆的两条切线
，
，切点分别为
，
，设直线，的斜率为
，
，证明：
为定值；
②当
时，若直线
与交于，
两点，直线
与交于，两点，求
的值．
的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．(1)求椭圆
的离心率；(2)若椭圆
与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．①当
时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；②当
时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．
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2024-04-08更新
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288次组卷
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2卷引用：河北省石家庄市七县联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
7 . 已知椭圆
，点
是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与
轴正半轴的顶点，且离心率为
，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的标准方程，并求
面积的最大值；
(2)探究直线
和直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；
(3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线
恒过定点．
，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的顶点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．(1)求椭圆
的标准方程，并求面积的最大值；(2)探究直线
和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；(3)若圆
的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点．
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8 . 已知椭圆C：过点
，直线
与椭圆交于两点，且线段
的中点为
为坐标原点，直线
的斜率为
，则下列结论正确的是（ ）
过点，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ）| A．的离心率为 |
B．的方程为 |
C．若 ，则 |
D．若 ，则椭圆上不存在 两点，使得关于直线对称 |
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名校
解题方法
9 . 已知点是圆
的动点，过作
轴，
为垂足，且
，
，记动点，
的轨迹分别为，．
(1)证明：，有相同的离心率；
(2)若直线
与曲线交于，，与曲线交于，，与圆
交于，，当
时，试比较
与
的大小．
是圆的动点，过作轴，为垂足，且，，记动点，的轨迹分别为，．(1)证明：
，有相同的离心率；(2)若直线
与曲线交于，，与曲线交于，，与圆交于，，当时，试比较与的大小．
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2024-02-28更新
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280次组卷
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2卷引用：浙江省金华市2023-2024学年高三上学期2月期末考试数学试题
解题方法
10 . 已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过直线
上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点．
的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为．(1)求椭圆C的方程；
(2)过直线
上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点．
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