1 . 已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线与的斜率的乘积为定值；
(3)求线段的长度的最小值

2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点，，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点P在椭圆上（异于点A、B、C）且直线PB， PC分别交直线OA于M、N两点，证明为定值并求出该定值.

3 . 如图，椭圆的上、下顶点分别为A，，右焦点为，点在椭圆上，且.

(1)若点坐标为，求椭圆的方程；
(2)延长交椭圆与点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求椭圆的离心率；
(3)是否存在椭圆，使直线平分线段？

4 . 已知椭圆（）的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线（）与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）与直线：（），四点，，，中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

6 . 已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求面积的最大值；
（Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.

7 . 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM（O为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．

9 . 如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.

（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若求椭圆离心率的值.

10 . 设分别为椭圆的左、右两个焦点．
(1)若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；
(2)设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．