1 . 如图，已知双曲线的离心率为2，点在上，为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点．

(1)求的方程；
(2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．

2 . 已知双曲线的右焦点，离心率为，过F的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点.
(1)当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积；
(2)直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点.

3 . 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．

4 . 已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为．

(1)求双曲线的标准方程．
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

6 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

7 . 已知双曲线过点且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)过点作直线l与双曲线C交于P、Q两点，求直线l斜率的取值范围．
(3)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．

8 . 已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，.
(1)求C的方程；
(2)若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值.

9 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线交于，两点，点为双曲线在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为，记直线、的斜率分别为、，则______．

10 . 已知双曲线经过点，且其渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围．