解题方法
1 . 彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸"现象，终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点离心率为
的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为
.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为
，
，过，作双曲线的切线
，
，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线
与交于点M，直线
交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为.(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为
，，过，作双曲线的切线，，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线与交于点M，直线交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
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2 . 已知双曲线
（
，
）的离心率为
，且经过点
.
(1)求
的方程；
(2)过原点
的直线与交于
，
两点（异于点
），记直线
和直线
的斜率分别为
，
，证明：
的值为定值；
(3)过双曲线上不同的两点
，
分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点
，且
，求
的最大值.
（，）的离心率为，且经过点.(1)求
的方程；(2)过原点
的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值；(3)过双曲线
上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值.
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3 . 已知双曲线
的离心率为
，实轴长为
．两条不同直线
与双曲线分别交于A，B两点和C，D两点，两条直线的斜率分别为
．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线l1过右焦点，求线段AB长度的最小值；
(3)若两条不同直线都过点
且演足
分别为线段AB，CD的中点，求证直线MN过定点，并求出该定点坐标．
的离心率为，实轴长为．两条不同直线与双曲线分别交于A，B两点和C，D两点，两条直线的斜率分别为．(1)求双曲线
的方程；(2)若直线l1过右焦点，求线段AB长度的最小值；
(3)若两条不同直线
都过点且演足分别为线段AB，CD的中点，求证直线MN过定点，并求出该定点坐标．
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2024-04-09更新
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273次组卷
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2卷引用：江苏省淮阴中学2023-2024学年高二下学期级阶段测试（一）数学试卷
名校
解题方法
4 . 双曲线C：
的离心率为
，点
在C上.
(1)求C的方程；
(2)设圆O：
上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.
的离心率为，点在C上.(1)求C的方程；
(2)设圆O：
上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.
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2024-05-17更新
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502次组卷
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3卷引用：福建省厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查基础巩固练习数学试题
名校
解题方法
5 . 在平面直角坐标系
中，双曲线
的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点
是上位于第一象限的一点，点
关于原点对称，点
关于
轴对称．延长
至
使得
，且直线
和的另一个交点
位于第二象限中．
（ⅰ）求
的取值范围，并判断
是否成立？
（ⅱ）证明：
不可能是
的三等分线．
中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．(1)求双曲线
的标准方程；(2)点
是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中．（ⅰ）求
的取值范围，并判断是否成立？（ⅱ）证明：
不可能是的三等分线．
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名校
解题方法
6 . 已知双曲线
的离心率为
，虚轴长为
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
的离心率为，虚轴长为．(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
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7日内更新
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464次组卷
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4卷引用：贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题
贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题（已下线）宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试卷（已下线）宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期第四次模拟数学（文）试卷宁夏回族自治区银川一中2024届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试卷
名校
7 . 已知点
、
，椭圆
：
与双曲线
：
有相同的焦点．
(1)求双曲线的方程与离心率．
(2)点
为双曲线的一部分（
且
）上的动点，证明：存在过点P的双曲线的切线等分
的面积（O为原点）．
(3)设双曲线的切线l与椭圆交于C、D两点，求动弦
中点M的轨迹方程．
、，椭圆：与双曲线：有相同的焦点．(1)求双曲线
的方程与离心率．(2)点
为双曲线的一部分（且）上的动点，证明：存在过点P的双曲线的切线等分的面积（O为原点）．(3)设双曲线
的切线l与椭圆交于C、D两点，求动弦中点M的轨迹方程．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
8 . 已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为
，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为，，若直线l交C于
，
，且点N在第一象限，
，直线
与直线
的交点P在直线
上，证明：直线MN过定点．
，离心率为．(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．
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9 . 已知为坐标原点，曲线
和曲线
有公共点，直线
与曲线
的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为．
(1)若曲线和
有且仅有两个公共点，求曲线的离心率；
(2)若是曲线上的点，且在第一象限，
，
是其左右焦点，当
为直角三角形时，求点的横坐标；
(3)若直线
与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：
．
为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为．(1)若曲线
和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率；(2)若
是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当为直角三角形时，求点的横坐标；(3)若直线
与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：．
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名校
10 . 已知椭圆
与双曲线
的焦距之比为
．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作
轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，
与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：
．
与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆
和双曲线的离心率；(2)设双曲线
的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
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2024-01-25更新
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958次组卷
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8卷引用：湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题
