1 . 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，直线与圆相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点的直线与椭圆相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记，的面积分别为，，求的取值范围．

2 . 已知点在抛物线上，且到的焦点的距离与到轴的距离之差为.
(1)求的方程；
(2)当时，是上不同于点的两个动点，且直线的斜率之积为为垂足.证明：存在定点，使得为定值.

3 . 已知抛物线：过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点.
(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求的值.

4 . 已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值.

5 . 已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.

6 . 已知抛物线过点，为原点．

(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)直线与抛物线交于不同的两点、（、不与重合）．过点作轴的垂线分别与直线、交于点、，且为线段的中点．试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．

7 . 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，过点作垂直于的直线交轴于点，试求的取值范围．

8 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．

9 . 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，△为等腰直角三角形为坐标原点），抛物线的焦点恰好是该椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，分别是椭圆的下顶点和上顶点，点是椭圆上异与，的点，求证：直线和直线的斜率之积为定值．
(3)已知圆的切线与椭圆相交于，两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．

10 . 已知抛物线的焦点为，准线为.
(1)设与轴的交点为，点在上，且在轴上方，若，求直线的方程；
(2)过焦点的直线与相交于、两点，点在上，且，，求的面积.