1 . 已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)已知点，过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线与椭圆C的另一个交点为Q.若的面积等于，求直线的斜率.

2 . 已知椭圆两焦点坐标分别为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求所有满足条件的直线的方程.

3 . 已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求 的取值范围.

4 . 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.

5 . 如图，已知椭圆的离心率为，F为椭圆C的右焦点，，.

(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M，直线OM与直线交于点D，过O且平行于AP的直线与直线交于点E.求证：.

6 . 如图，已知椭圆：的离心率为，为椭圆的右焦点，，.

(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，为椭圆上一点，的中点为，直线与直线交于点，过作，交直线于点，求证：.

7 . 设分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆的左顶点,点为椭圆的上顶点,且.
（Ⅰ）若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;
（Ⅱ）设为椭圆上一点,且在第一象限内,直线与轴相交于点,若以为直径的圆经过点,证明:.

8 . 设点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，已知椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过右焦点的直线l与椭圆相交于A，B两点，记三条边所在直线的斜率的乘积为，求的最大值.

9 . 已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点满足条件.
（1）求m的值；
（2）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记和的面积分别为，，若,求直线l的方程.

10 . 设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.
（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；
（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.