1 . 设曲线过两点，直线与曲线交于两点，与直线交于点.
（1）求曲线的方程；
（2）记直线的斜率分别为，求证：，其中为定值.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线，分别与椭圆C交于A，B，C，D四点，且，的周长为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M，N分别是，的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知点，动点满足：.
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点的直线与曲线C相交于两点,并且曲线C上存在点Q，使四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

5 . 已知椭圆：（）的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率存在的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值.

6 . 已知椭圆的两焦点为，点M在椭圆上运动，当时，时，的面积取得最大值．O是坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与椭圆C在第一象限交于点N，过N作两条关于直线l对称的直线，分别交椭圆于不同于N的两点A，B．求证：．

7 . 已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）.当点与椭圆的上顶点重合时，.
（1）求椭圆的方程
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

9 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点F是椭圆C的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程
（2）设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线与的斜率之和为-1，证明：l过定点.

10 . 已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由