1 . 已知斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为，椭圆的上顶点为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆交于两点，若直线与的斜率之和为2，证明：过定点.

2 . 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为.过的直线交于，两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆与轴正半轴相交于两点，（点在点的左侧），过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，连接，，求证.

3 . 在中，点，，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．
求E的方程；
设点，过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，是否可能为直角，并说明理由．

4 . 设椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若椭圆的离心率为，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，，设弦，的中点分别为，，证明：，，三点共线.

5 . 如图，已知离心率为的椭圆过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点.
（1）求椭圆方程；
（2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

6 . 设椭圆，右顶点是，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.

7 . 已知椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？若是请求出，若不是请说明理由．

8 . 已知动圆过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求C的方程；
（2）设，B，P为C上一点，P不在坐标轴上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值．

9 . 已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆交于均在第一象限，与轴、轴分别交于、两点，设直线的斜率为,直线的斜率分别为，且(其中为坐标原点).证明: 直线的斜率为定值.

10 . 已知椭圆：的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为原点，圆：与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值．