1 . 椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.

3 . 已知椭圆：的离心率为，是上一点.
(1)求的方程.
(2)设，分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线，与交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.证明：①为定值；②点在定直线上.

4 . 已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．

5 . 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆相交于、两点，试判断是否存在实数，使以为直径的圆过定点？若存在求出这个值，若不存在说明理由.

6 . 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．

8 . 已知椭圆：（）的离心率为，，分别为的左、右焦点，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在与轴不垂直的直线与交于，两点，且弦的垂直平分线过的右焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过的直线，使得直线与椭圆交于，？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）