1 . 在平面直角坐标系
中，动点
到点
的距离是点到直线
的距离的2倍，记动点的轨迹为
．
(1)求
的方程；(2)若直线
分别与
，，第一象限的交于点
，
，
，过作斜率为
，
的直线
，
且分别与交于点
，
，若
，
的面积分别为
，
，证明：
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解题方法
2 . 已知在平面直角坐标系中，：
，：
，平面内有一动点，过作
交于
，
交于，平行四边形
面积恒为1.
(1)求点的轨迹方程并说明它是什么图形；
(2)记的轨迹为曲线，
，当在
轴右侧且不在
轴上时，在轴右侧的上一点
满足轴平分
，且
不与轴垂直或
是的一条切线，求与，围成的三角形的面积最小值.
中，：，：，平面内有一动点，过作交于，交于，平行四边形面积恒为1.(1)求点
的轨迹方程并说明它是什么图形；(2)记
的轨迹为曲线，，当在轴右侧且不在轴上时，在轴右侧的上一点满足轴平分，且不与轴垂直或是的一条切线，求与，围成的三角形的面积最小值.
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2024-03-21更新
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1013次组卷
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3卷引用：广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三上学期数学周测试题（12）
3 . 已知焦点在轴的等轴双曲线的虚轴长为
，直线
与交于，两点，线段
的中点为.
(1)若直线
过的右焦点且，都在右支，求弦长
的最小值；(2)如图所示，虚线部分为双曲线
与其渐近线之间的区域，点能否在虚线部分的区域内？请说明理由.
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4 . 已知双曲线的方程为
，其中
是双曲线上一点，直线
与双曲线的另一个交点为，直线
与双曲线的另一个交点为
，双曲线在点
处的两条切线记为
与交于点，线段
的中点为
，设直线
的斜率分别为
．
(1)证明：
；
(2)求
的值．
的方程为，其中是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为．(1)证明：
；(2)求
的值．
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5 . 已知双曲线
：
，
，
，直线与有唯一公共点．
(1)求
的方程：(2)若双曲线
的离心率
不大于
，过的直线与交于不同的两点，．求直线
与直线
的斜率之和．
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6 . 已知
分别为双曲线
的左､右顶点，
，动直线与双曲线交于
两点．当
轴，且
时，四边形
的面积为
．
(1)求双曲线
的标准方程．(2)设
均在双曲线的右支上，直线
与
分别交轴于
两点，若
，判断直线是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．
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7 . 已知双曲线
的渐近线方程为
的焦距为，且
.
(1)求的标准方程；
(2)若为上的一点，且为圆
外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点
与交于另一点，证明：
（i）
的斜率之积为定值；
（ii）存在定点，使得关于点对称.
的渐近线方程为的焦距为，且.(1)求
的标准方程；(2)若
为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：（i）
的斜率之积为定值；（ii）存在定点
，使得关于点对称.
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8 . 在平面直角坐标系中，动点M到点
的距离比到点
的距离大2，记点M的轨迹为曲线H.
(1)若过点B的直线交曲线H于不同的两点，求该直线斜率的取值范围；
(2)若点D为曲线H上的一个动点，过点D与曲线H相切的直线与曲线
交于P，Q两点，求
面积的最小值.
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9 . 已知双曲线
的一条渐近线方程为
，右焦点为
．
(1)求C的标准方程；
(2)过点F且相互垂直的两条直线和
分别与C交于点A，B和点P，Q，记
的中点分别为M，N，求证：直线
过定点．
的一条渐近线方程为，右焦点为．(1)求C的标准方程；
(2)过点F且相互垂直的两条直线
和分别与C交于点A，B和点P，Q，记的中点分别为M，N，求证：直线过定点．
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解题方法
10 . 如图，已知为双曲线
上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作
于点，则
的值是（ ）
为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，则的值是（ ）A． | B． | C． | D．不确定 |
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