1 . 已知双曲线是双曲线的左顶点，直线.
(1)设直线过定点，且交双曲线于两点，求证：直线与的斜率之积为定值；
(2)设直线与双曲线有唯一的公共点.
（i）已知直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，求证：；
（ii）过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，求点的轨迹方程.

2 . 在平面直角坐标系中，双曲线C：的渐近线的方程为，焦距为．

(1)求的方程；
(2)如图，点为的下顶点，点在轴上（位于原点与上顶点之间），过作轴的平行线，过的另一条直线交于两点，直线分别交于两点，若，求的坐标．

3 . 某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为．机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）．在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．

(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

5 . 已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．

(1)当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；
(2)若双曲线C的焦距为4，且恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．

8 . 已知双曲线的右焦点为，其渐近线方程为，
(1)求双曲线C的方程
(2)已知斜率为的直线经过点与曲线双曲线交于两点，为坐标原点，若，求的值.

9 . 已知双曲线的右焦点为，且经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若以为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．