2 . 过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．

3 . 已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.
(1)求的方程；
(2)证明：以为直径的圆经过定点.

4 . 已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，过点作直线与一条渐近线垂直，垂足为，与另一条渐近线相交于点，且都在轴右侧，
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的右支相切，切点为与直线交于点，试探究以线段为直径的圆是否过轴上的定点.

5 . 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.

6 . 已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.

7 . 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.

8 . 已知双曲线的右焦点，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.

9 . 已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

10 . 已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．