1 . 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：以为直径的圆恒过定点．

2 . 已知椭圆经过两点.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，若点满足，求证：P，O，Q三点共线．

3 . 已知椭圆过点和，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值．

4 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，，四边形的周长为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为、直线与y轴交于点Q．若的面积为2，求k的值．

5 . 已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点．
(1)当直线与轴垂直时，求直线的方程；
(2)求的取值范围．

6 . 已知椭圆M：，圆N：，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为．
(1)求直线l方程及椭圆M的焦距．
(2)直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求．

7 . 已知椭圆E：过点，E的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点A、B为椭圆左右顶点，过点且不与x轴重合的直线l分别交E于C，D．直线分别交直线AC和BD于P，Q点，求证：．

8 . 已知椭圆的短轴长为，直线与轴交于点，椭圆的右焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若原点在以为直径的圆上，求直线的方程；
(3)过点且垂直于轴的直线交椭圆于另一点，证明：三点共线，并直接写出面积的最大值．

9 . 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线：与椭圆相交于 两点，且原点在以为直径的圆上，求直线斜率的值.

10 . 已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.
(1)求实数的值；
(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合是一个圆.