1 . 椭圆：过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，，试证明：．

2 . 已知直线与圆相切，动点到与两点的距离之和等于、两点到直线的距离之和．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同两点、，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．

3 . 已知点，，点P满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且
（1）求点的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点.动点在直线上，过作两条切线，切点分别为，，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过，分别向，作垂线，垂足分别为，，，.
（i）证明：为定值；
（ii）记和的面积分别为，，求的取值范围.

5 . 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.

6 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

7 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.

8 . 已知椭圆的离心率为，且过点，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值?若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦点为，，点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，且点不在坐标轴上，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值，并求出该定值.

10 . 已知椭圆：，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若在轴上存在点，过点的直线分别与椭圆相交于、两点，且为定值，求点的坐标．