1 . 设数列满足，且对任意整数是最小的不同于的正整数，使得与互质，但不与互质.证明：每个正整数都在中出现.

2 . 如果实数，且满足，则称x、y为“余弦相关”的.
(1)若，请求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若两数、为“余弦相关”的，求证：；
(3)若不相等的两数、为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数，使得x、z为“余弦相关”的，y、z也为“余弦相关”的.

3 . 对于向量，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）.
(1)当时，直接写出向量；
(2)证明：对于，向量中的三个实数至多有一个为0；
(3)若，证明：，.

4 . 已知函数．
(1)若在区间上单调递增，求a的取值范围；
(2)证明：，

5 . 已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；                                                
②；
(2)若是的3元完美子集，求的最小值；
(3)若是（且）的元完美子集，求证：．

6 . 已知集合，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得，则称集合M是“关联的”，并称集合是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”.
(1)分别判断集合与是“关联的”还是“独立的”？
(2)写出（1）中“关联的”集合的所有的“关联子集”；
(3)已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在M的“关联子集”A，使得.若，求证：，，，，是等差数列.

7 . 设n是不小于3的正整数，集合，对于集合S_n中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或．
(1)若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值；
(2)若，证明：；
(3)设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值．

8 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，证明：．

10 . 设函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根､，当时，证明：.（注：…是自然对数的底数）