1 . 已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）．
(1)若，满足，求证：数列是等差数列；
(2)若，试判断数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；
(3)若，试证明：．

2 . 定义：有限非空数集的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.
（1）若有限数集，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和_奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和_偶数.

3 . 用数学归纳法证明：．

4 . 已知数列，数列的前n项和为，令，，求证：数列的前n项和满足

5 . 设数列的前项和为，且与的等差中项为.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，证明：.

6 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.

7 . 已知数列满足：，且.记集合.
(1)若，写出集合的所有元素；
(2)若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合的元素个数的最大值.

8 . 已知数列满足，.
(1)写出数列的前四项；
(2)判断数列的单调性；
(3)求证：.

9 . 已知数列满足，，，为数列前项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立.

10 . 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，，求证：对任意的，都有；
(3)若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.