1 . 已知为有穷正整数数列,,且.从中选取第项,第项,,第项,称数列,为的长度为的子列.规定:数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数,数列存在长度为的子列,使得,则称数列为全覆盖数列.
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列;
(2)在数列中,若,求证:当时,;
(3)若数列满足:,且当时,,求证:数列为全覆盖数列.
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列;
(2)在数列中,若,求证:当时,;
(3)若数列满足:,且当时,,求证:数列为全覆盖数列.
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解题方法
2 . 将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列,此时数列中剩下的项构成数列;再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列,剩下的项构成数列;….如此操作下去,将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列,剩下的项构成数列.
(1)分别写出数列的前2项;
(2)记数列的第项为.求证:当时,;
(3)若,求的值.
(1)分别写出数列的前2项;
(2)记数列的第项为.求证:当时,;
(3)若,求的值.
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3 . 已知无穷数列是首项为1,各项均为正整数的递增数列,集合.若对于集合A中的元素k,数列中存在不相同的项,使得,则称数列具有性质,记集合数列具有性质.
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B;
(2)若集合A与集合B都是非空集合,且集合A中的最小元素为t,集合B中的最小元素为s,当时,证明:;
(3)若满足,证明:.
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B;
(2)若集合A与集合B都是非空集合,且集合A中的最小元素为t,集合B中的最小元素为s,当时,证明:;
(3)若满足,证明:.
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名校
4 . 已知A为有限个实数构成的非空集合,设,,记集合和其元素个数分别为,.设.例如当时,,,,所以.
(1)若,求的值;
(2)设A是由3个正实数组成的集合且,;,证明:为定值;
(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列,对任意,设,.已知,,且对任意,,求数列的通项公式.
(1)若,求的值;
(2)设A是由3个正实数组成的集合且,;,证明:为定值;
(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列,对任意,设,.已知,,且对任意,,求数列的通项公式.
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2023-06-14更新
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745次组卷
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3卷引用:北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题
5 . 已知集合,对于集合的非空子集.若中存在三个互不相同的元素,,,使得,,均属于,则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合,是否为集合的“期待子集”;(直接写出答案,不必说明理由)
(2)如果一个集合中含有三个元素,,,同时满足①,②,③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集,证明:集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质;
(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”,求的最小值.
(1)试判断集合,是否为集合的“期待子集”;(直接写出答案,不必说明理由)
(2)如果一个集合中含有三个元素,,,同时满足①,②,③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集,证明:集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质;
(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”,求的最小值.
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2023-03-21更新
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1030次组卷
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6卷引用:北京市丰台区2023届高三一模数学试题
北京市丰台区2023届高三一模数学试题专题12压轴题汇总(10、15、21题)专题01集合与常用逻辑北京卷专题02集合(解答题)(已下线)北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题变式题16-21(已下线)第一章 集合与逻辑(压轴题专练)-速记·巧练(沪教版2020必修第一册)
解题方法
6 . 已知无穷数列满足:①;②(;;).设为所能取到的最大值,并记数列.
(1)若,写出一个符合条件的数列A的通项公式;
(2)若,求的值;
(3)若,求数列的前100项和.
(1)若,写出一个符合条件的数列A的通项公式;
(2)若,求的值;
(3)若,求数列的前100项和.
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2022-05-30更新
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1404次组卷
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5卷引用:北京市东城区2022届高三下学期综合练习(三)数学试题
北京市东城区2022届高三下学期综合练习(三)数学试题北京卷专题18数列(解答题)(已下线)2022年新高考北京数学高考真题变式题13-15题(已下线)2022年新高考北京数学高考真题变式题19-21题(已下线)专题11 数列前n项和的求法 微点8 分组法求和
7 . 已知无穷数列,若存在常数,满足:①对于中的任意两项,在中都存在一项,使得;②对于中的任意一项,在中都存在两项,使得;则称数列为数列,称为该数列的特征值.
(1)数列,其中,判断是否为数列,若是数列,求出该数列的特征值,若不是,请说明理由;
(2)数列是特征值为3的数列,且,判断是否存在,满足,,并请说明理由;
(3)数列单调,且是特征值为2的数列,求证:数列为等差数列.
(1)数列,其中,判断是否为数列,若是数列,求出该数列的特征值,若不是,请说明理由;
(2)数列是特征值为3的数列,且,判断是否存在,满足,,并请说明理由;
(3)数列单调,且是特征值为2的数列,求证:数列为等差数列.
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解题方法
8 . 设为正整数,如果表达式同时满足下列性质,则称之为“交错和”.①,;②;③当时,();④规定:当时,也是“交错和”.
(1)请将7和10表示为“交错和”;
(2)若正整数可以表示为“交错和”,求证:;
(3)对于任意正整数,判断一共有几种“交错和”的表示方法,并证明你的结论.
(1)请将7和10表示为“交错和”;
(2)若正整数可以表示为“交错和”,求证:;
(3)对于任意正整数,判断一共有几种“交错和”的表示方法,并证明你的结论.
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名校
9 . 若无穷数列满足:是正实数,当时,,则称是“Y﹣数列”.
(Ⅰ)若是“Y﹣数列”且,写出的所有可能值;
(Ⅱ)设是“Y﹣数列”,证明:是等差数列当且仅当单调递减;是等比数列当且仅当单调递增;
(Ⅲ)若是“Y﹣数列”且是周期数列(即存在正整数T,使得对任意正整数n,都有),求集合的元素个数的所有可能值的个数.
(Ⅰ)若是“Y﹣数列”且,写出的所有可能值;
(Ⅱ)设是“Y﹣数列”,证明:是等差数列当且仅当单调递减;是等比数列当且仅当单调递增;
(Ⅲ)若是“Y﹣数列”且是周期数列(即存在正整数T,使得对任意正整数n,都有),求集合的元素个数的所有可能值的个数.
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2020-07-25更新
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881次组卷
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5卷引用:2019届北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练习数学(理)试题
2019届北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练习数学(理)试题北京市人大附中2020届高三(6月份)高考数学考前热身试题(已下线)专题21 数列的综合应用-2020年高考数学母题题源解密(北京专版)(已下线)卷03-【赢在高考·黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷(北京专用)北京十一学校2022届高三10月月考数学试题
名校
10 . 对于维向量,若对任意均有或,则称为维向量. 对于两个维向量定义.
(1)若, 求的值;
(2)现有一个维向量序列:若且满足:,求证:该序列中不存在维向量.
(3) 现有一个维向量序列:若且满足:,若存在正整数使得为维向量序列中的项,求出所有的.
(1)若, 求的值;
(2)现有一个维向量序列:若且满足:,求证:该序列中不存在维向量.
(3) 现有一个维向量序列:若且满足:,若存在正整数使得为维向量序列中的项,求出所有的.
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2017-05-04更新
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607次组卷
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5卷引用:北京市东城区2017届高三二模理科数学试题
北京市东城区2017届高三二模理科数学试题北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)数学理试题北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)理数试题(已下线)卷02-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷(北京专用)(已下线)北京市第四中学2023~2024学年高二上学期期中考试数学试题