【推荐1】已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求的值．

【推荐2】在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，，．过点M作MM₁⊥轴于M₁，过N作NN₁⊥轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明不存在直线，使得；
（Ⅲ）过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．

【推荐3】已知椭圆的右焦点，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．问：的周长是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．

【推荐1】已知椭圆C：的上端点为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点且不经过点M的直线l与椭圆C相交于A，B两点．若，分别为直线，的斜率，求的值

【推荐2】已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：点定在直线上；
(3)椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、、为切点），使得直线过点？若存在，求出切线、的方程；若不存在，试说明理由．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且椭圆与椭圆在第一、二、三、四象限分别交于A，B，C，D四点，顺次连接A，B，C，D四点得到一个正方形．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知有一定点，设过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，直线TM，TN分别与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为，，求的值．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点的直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆过坐标原点，求的值.

【推荐2】已知椭圆过点，焦距为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作两条直线，且，切椭圆C于M，交椭圆C于A，B不同两点，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.