【推荐1】已知函数的图象在处的切线过原点．
(1)求的值；
(2)设，若对总，使成立，求整数的最大值．

【推荐3】已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数存在不同的极值点，且以为对角线的正方形的四顶点都在函数的图像上，求的值.

【推荐1】已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)当时，证明：．

【推荐2】已知函数，为函数的导函数.
（1）若函数的最小值为0，求实数的值；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.

【推荐3】固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．