【推荐1】在中，，为的中点，，沿将折起.当时，三棱锥的外接球半径为_________；当，且时，过点作三棱锥外接球的截面，则截面圆的面积的最小值为_________.

【推荐2】在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为______．

【推荐3】已知正四面体的棱长为2，在棱上，且，则二面角的余弦值为______；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为______.

【推荐1】如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为________，模型中九个球的表面积之和为________.

【推荐2】已知直角三角形的两条直角边，，为斜边上一动点，沿将三角形折起形成直二面角，当最短时，_________，此时三棱锥的体积为_________．

【推荐3】如图，点是正方体中的侧面内（包括边界）的一个动点，则下列命题正确的是___________(请填上所有正确命题的序号）．

①满足的点的轨迹是一条线段；       
②在线段上存在点，使异面直线与所成的角是；       
③若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为；
④存在无数个点，使得点到直线和直线的距离相等．

【推荐1】已知正三棱锥P－ABC的底棱长为1，高为，内切球的半径为r，则以内切球的球心为球心，2r为半径的球截底面三角形ABC所得图形的面积是________.

【推荐2】表面积为100π的球面上有四点S､A､B､C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面SAB⊥面ABC，则棱锥体积的最大值为___________.

【推荐3】在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.