【推荐1】对于定义在上的函数，如果存在两条平行直线与，使得对于任意，都有恒成立，那么称函数是带状函数，若，之间的最小距离存在，则称为带宽.
（1）判断函数是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；
（2）求证：函数（）是带状函数；
（3）求证：函数（）为带状函数的充要条件是.

【推荐2】已知数列,满足（…）．
（1）若，求的值；
（2）若且，则数列中第几项最小？请说明理由；
（3）若（n=1,2,3,…），求证：“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且（n=1,2,3,…）”．

【推荐3】设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.

【推荐1】给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.
（1）设数列为，，，，写出，，的值；
（2）设是公比大于的等比数列，且.证明：是等比数列.
（3）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.

【推荐2】各项均为正数的数列的前项和为，，且.
（1）求证：数列不是等差数列；
（2）是否存在整数，使得对任意的都成立？证明你的结论.

【推荐3】给定函数和常数，若恒成立，则称为函数的一个“好数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类好数对”．已知函数的定义域为．
（Ⅰ）若是函数的一个“好数对”，且，求；
（Ⅱ）若是函数的一个“好数对”，且当时，，求证：
函数在区间上无零点；
（Ⅲ）若是函数的一个“类好数对”，，且函数单调递增，比较与的大小，并说明理由．

【推荐1】(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．

【推荐2】（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.

【推荐3】已知等比数列单调递减，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求的最大值及取最大值时n 的值.

【推荐1】设各项均是正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为1的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求使成立的最小正整数n；
（3）令，求数列的前n项和.

【推荐2】已知等差数列的前n项和为.
（1）若数列为等差数列，且，求；
（2）若，求公差d的取值范围.

【推荐3】数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．