【推荐1】已知双曲线C的渐近线为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．

【推荐2】已知双曲线C：的焦距为4，且过点．

(1)求双曲线方程和其渐近线方程；

(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

【推荐3】分别求解以下两个小题：
(1)已知双曲线过点，渐近线方程为，且焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程．
(2)已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，求点M的轨迹方程．

【推荐1】已知双曲线与椭圆共焦点，他们的离心率之和为，求双曲线的标准方程.

【推荐2】已知双曲线的离心率为，点在C上．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设过点的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由，

【推荐3】已知双曲线C和椭圆1有公共的焦点，且离心率为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A、B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．

【推荐1】已知双曲线，满足______（从下列条件中选择其中两个补充在横线上并作答）．
①离心率为2；②渐近线为；③过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线l过点，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知的顶点、，为动点，且.记动点的轨迹为曲
（I）求曲线的方程；
（II）设是既不与平行也不与垂直的直线，且原点到直线的距离为，与曲线相交于不同的两点、，问的值是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是，请说明理由.

【推荐3】已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线l与双曲线的一支交于两点，求的取值范围．