【推荐1】已知某健身房初始投资万元，开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年运营成本增加2万元，假设该健身房每年的营业额为万元，用数列表示前年的纯收入（注：前年纯收入前年营业额之和前年运营成本投资额）.
（1）求该健身房前年的纯收入；
（2）求该健身房年平均利润的最大值；
（3）当前年的纯收入最大时，该健身房拟用前年的纯收入的重新装修，求此次装修的费用.

【推荐2】已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求使取最大值时的的值.（取）

【推荐3】已知数列首项，且满足，令.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列中的最小项.

【推荐1】已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₃＝9，a₂是a₁，a₇的等比中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足，求{b_n}的前n项和S_n．

【推荐2】已知正项等差数列满足，且．
(1)求的公差的最小值；
(2)当取最小值时，若也取最小值，求前项和．

【推荐3】设等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由．

【推荐1】设数列的前项和为，，.
（1）求证：数列是等差数列.
（2）设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值.

【推荐2】记正项数列的前n项和为，且满足对任意正整数n有，，构成等差数列；等比数列的公比，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.

【推荐3】已知数列满足，．
(1)设，，是数列的连续三项，证明：，，不可能为等比数列；
(2)当时，证明：．