【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为．

(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的情况下，求的最大值．

【推荐2】如图所示，已知、、是椭圆上三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，.
(1)求点的坐标及椭圆的方程；
(2)若椭圆上存在两点、，使得的平分线总垂直于轴，试判断向量与是否共线，并给出证明．

【推荐3】已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.

【推荐1】已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，．
(1)证明：直线经过定点；
(2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程．
参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为．

【推荐2】已知椭圆过点，两个焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.

【推荐3】已知中心为坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于A，B两点，，，且点在椭圆上，求直线的方程．

【推荐1】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形

【推荐2】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k．

【推荐1】．本小题满分15分）
如图，已知椭圆E：，焦点为、，双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设是双曲线上异于顶点的任一点，直线、与椭圆的交点分别为和，已知三角形的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.

（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）设直线、的斜率分别为和，探求
和的关系；
（3）是否存在常数，使得恒成立？
若存在，试求出的值；若不存在， 请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且椭圆的离心率为.直线与椭圆相交于两点，线段的中垂线交椭圆于两点.
   
(1)求的标准方程；
(2)求线段长的最大值；
(3)证明：为定值，并求此定值.

【推荐3】已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，是椭圆的左顶点，，的周长为6．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若是直线上一点，过点的两条不同直线分别交于点和点，且，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．